Ограниченность сходящейся числовой последовательности.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность.

x_1, х₂, …, х_n = {x_n}

Общий элементпоследовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n} = {(-1)ⁿ} или {x_n} = -1; 1; -1; 1; …

{x_n} = {sinpn/2} или {x_n} = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) Умножение последовательности на число m: m{x_n} = {mx_n}, т.е. mx₁, mx₂, …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n} ± {y_n} = {x_n ± y_n}.

3) Произведение последовательностей: {x_n}×{y_n} = {x_n×y_n}.

4) Частное последовательностей: при {y_n} ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {x_n} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что

x_n £ M.

Определение. Последовательность {x_n}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что

x_n ³ M

Пример. {x_n} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n}сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim .

Пусть при n > N верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥ последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {x_n}= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n} = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n}имеет два предела a и b, не равные друг другу.

x_n ® a; x_n ® b; a ¹ b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любоечисло, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то .

Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a, то последовательность {x_n} ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя