Понятие метрического пространства. Открытые и замкнутые множества.

Определение. Метрикойна множестве Е называется функция f(x, y), определенная на декартовом произведении Е´Е, значениями которой являются неотрицательные действительные числа, удовлетворяющая при любых значениях х, у, z из множества Е следующим условиям:

1) f(x, y) = f(y, x)

2) f(x, y) + f(y, x) ³ f(x, y)

3) f(x, y) = 0 тогда и только тогда, когда х = у.

Определение. Метрическим пространством называется множество Е с заданной на нем метрикой f.

Определение. Число r(x, y), где х ÎЕ и у Î Е – заданные точки, называется расстоянием между этими точками.

Определение. Пусть r – положительное число. Множество {y: r(x, y) < r} называется открытым шаром радиуса r с центром в точке х; множество {y: r(x, y) £ r} – замкнутым шаромрадиуса r с центром в точке х.

Например, для трехмерного евклидова пространства R³ метрика определяется как , где х(х₁, х₂, x₃) Î R³ и y(y₁, y₂, y₃) Î R³.

Ро(х,у)=мах|х1-у1|

Определение. Множество называется шаром с центром в и радиусом .

Определение. Множество называется открытым в , если вместе с каждой точкой в содержится некоторый шар .

Шар является открытым множеством. Этот факт легко доказать, используя неравенство треугольника.

Определение. Множество называется замкнутым шаром с центром в и радиусом .

Определение. Множество называется замкнутым, если — открытое множество.

Шар является замкнутым множеством.

Определение. Точка называется предельной точкой множества , если в любом шаре содержится бесконечно много точек из множества .

Теорема. Множество замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Теорема. (Свойства открытых множеств) Объединение любого числа открытых множеств есть открытое множество. Пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Теорема. (Свойства замкнутых множеств) Пересечение любого числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Объединение конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.