Движение АТТ (поступательная и вращательная компоненты). Вращение АТТ вокруг оси. Момент инерции. Главные оси инерции. Моменты силы относительно точки и относительно оси.

Вращение АТТ вокруг оси.

При вращении АТТ вокруг оси все его точки описывают окружность с центром на оси вращения. Угловая скорость для всех точек одинаковая, а линейная = ωхR (векторное)

Вращение тела относительно одной оси можно описать как вращение одной мат. точки.

Момент импульса АТТ при вращении относительно оси ОО₁

L=ΣL_i=Σr_im_iv_i

L=ωΣm_ir_i²=ωJ, где J=Σm_ir_i²=ΣJ – момент инерции тв. тела (сумма J всех его частей)

J=ML² (L=Jω)

момент инерции характеризует не только массу, но и её распределение относительно оси вращения.

Относительно точки

L=rxp (векторно)

2з.Н. для вращения АТТ

J*ε=M

Гармонические колебания. Их скорость и ускорение. Уравнение свободных незатухающих гармонических колебаний. Математический и физический маятники. Теорема Штейнера. Сложение гармонических колебаний. Энергия гармонических колебаний.

При периодическом движении кинематические характеристики (x, v, a) выражаются гармоническими функциями (sin, cos). Периодичность – основное свойство гармонической функции: система оказывается в одинаковых состояниях через одинаковые промежутки времени.

Условие существования колебаний:

1) ПУР (наличие возвращающей силы)

2) Инертность системы

Возвращающая сила должна быть квазиупругой (подчиняться закону Гука)

F=-kx

Законы гармонического движения мат. точки вдоль оси х:

x(t)=Acos(ω₀t+φ₀)=x_maxcos(ω₀t+φ₀)

A=x_max=амплитуда ; ω₀t+φ₀ – фаза; φ₀ – начальная фаза.

T=1/ню=2π/ω₀ ; ω₀=2πню

Гармоническое колебание возникает при движении системы вблизи положения равновесия (минимума Е_р)

Скорость гармонических колебаний

v=x’_t= -Aω₀sin(ω₀t+φ₀)

a=x’’_t=v’_t= -Aω₀²cos(ω₀t+φ₀)

Скорость обгоняет смещение на четверть периода, ускорение – на полупериод (в противофазе со смещением)

Гармоническое колебание может быть представлено в комплексной форме:

re^iφ=Ae^i(ω0t+φ0)

Преимущества:

1) Облегчаются математические операции с гармоническими колебаниями.

2) Комплексная форма имеет простое геометрическое представление, облегчает сложение колебаний (оно становится просто сложением векторов)

Математический маятник.

Состоит из тонкой нерастяжимой нити и груза на конце.

mx’’_t= -mgsinφ

T=2π*sqrt(l/g) <= не зависит от массы груза.

x=Acos(ω₀t+φ₀)

Физический маятник.

Твёрдое тело, которое колеблется вокруг оси, не проходящей через центр масс.

M_F=mgsinφ*a (a – плечо)

J_OO’*φ’’_t= mgsinφ*a (J_OO’ – момент инерции относительно OO’)

T=2π*sqrt(J_OO’/mag)

Любая задача на физ. маятник сводится к нахождению J_OO’ по теореме Штейнера.

J_OO’=J_y+ma² (a – расстояние между осями OO’ и y ; J_y – относительно оси, проходящей через ц.м. (табличное значение))

Полная энергия гарм. колебаний.

E=E_k+E_p=mv²/2+kx²/2=mA²ω²/2

(где x= Acos(ω₀t+φ₀), k=mω₀²)

Сложение гармонических колебаний

1) Два колебания по х (одного направления и частоты)

x₁=A₁cos(ω₀t+φ₁), x₂=A₂cos(ω₀t+φ₂)

A²=A₁²+A₂² + 2A₁A₂cos(φ₁ - φ₂)

Биение – результат сложения 2х колебаний одного направления, слабо отличающихся частотами, т.е., A₁=A₂ φ₁=φ₂ ω₂=ω₁+Δω, где Δω мала. Частота изменения амплитуды суммарного сигнала равна разности частот двух исходных сигналов.

2) Два перпендикулярных колебания

x=A₁cos(ωt+φ₁)

y=A₂cos(ωt+φ₂)

(x/A₁)²+(y/A₂)²-(2xy/A₁A₂)cosΔφ=sin²Δφ

(Δφ=φ₁-φ₂)

В плоскости XOY уравнение описывает эллипс.

Частные случаи:

1) Если φ₁=φ₂, то

x/A₁=y/A₂

2) φ₁-φ₂=π/2

x²/A₁²+y²/A₂²=1

3) φ₁-φ₂=π

колебания в противофазе.

x/y= -A₁/A₂