Деякі властивості неперервних функцій

Теорема 1. Якщо і неперервні в точці функції, то їх сума + , різниця – , добуток × і частка також є неперервними функціями в точці , причому у випадку частки припускається, що знаменник не перетворюється в нуль при .

Справедливість цієї теореми безпосередньо випливає із відповідної теореми про границю алгебраїчної суми, добутку і частки.

Сформулюємо без доведення наступні теореми.

Теорема 2. Неперервна на відрізку функція досягає на цьому відрізку по крайній мірі один раз свого найбільшого і свого найменшого mзначень. (див. рис.32).

Рис. 32.

На рис. 32

Звернемо увагу, що, наприклад, функція , графік якої на рис. 29 в 4.2, на відрізку досягає свого найменшого значення в точках і . Найбільшим значенням цієї функції є , але його вона не досягає в жодній точці. Зате функція

яку ми довизначили, досягає найбільшого значення 1 в точці .

Теорема 3 (про нулі неперервної функції). Якщо функція неперервна на відрізку і на кінцях відрізка набуває значень з протилежними знаками, тобто то існує принаймні одне число між точками і , таке що (існує корінь рівняння ) (Рис. 33).

Рис. 33.

Геометрично це означає, що дві точки і , які лежать по різні сторони осі , можна з’єднати неперервною лінією тільки перетнувши вісь хоча б один раз.

Теорема 4 (про проміжні значення функції). Нехай функція неперервна на відрізку , числа і її відповідно найменше і найбільше значення на цьому відрізку, а число таке, що , тоді існує хоча б одне число між точками і таке, що . (див. рис. 34).

Рис. 34.

Число називають проміжним значенням між і ( ). З рисунка видно, що .

Якщо функція розривна, див., напр., рис. 35, то вона може не досягти значення в жодній точці, тобто пряма не перетинає графіка за умови, .

Рис. 35.