Теорема 2.

1) Якщо f(x) має похідну на інтервалі (a, b) i f(x)¯, то ¦¢(х)£0.

2) Якщо f(x) неперервна на [a, b] і має похідну, причому ¦¢(х)<0,

то f(x) спадає на [a, b].

Y

a

a b X

рис.41

Скорочено:

Інтервали, на яких функція тільки зростає або тільки спадає називаються інтервалами монотонності.

Отже, з теорем 1 і 2 випливає, що досліджувати функцію на монотонність (зростання і спадання) можна за допомогою похідної , визначаючи знак останньої на окремих проміжках. Раніше (див. ІІ, 2.2) ми досліджували деякі функції на монотонність, встановлюючи знак нерівності між і при умові, що . Але такі дослідження зручніше робити за допомогою похідної. Розглянемо на прикладах.

Приклади. Знайти проміжки монотонності функції:

1. . 2. .

3. . 4. . 5. .

Розв’язання

1.Функція визначена для . Знаходимо похідну . Похідна точок розриву немає і може змінювати знак при переході через корінь

, .

Наносимо корінь на числову вісь, яка при цьому розіб’ється на два інтервали і

( )

За допомогою пробних точок визначаємо знак похідної на кожному з інтервалів. Якщо взяти , то - функція спадає.

Якщо , то

- функція зростає.

Отже, для ;

для .

2. -функція визначена для всіх . Її похідна

має корені і , які розбивають числову вісь на три інтервали

, ,

Підставляючи пробні точки у розклад похідної на множники , визначаємо її знак у кожному із інтервалів (див. рис.). У відповідності до знаку похідної на даному інтервалі робимо висновок про поведінку функції:

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція зростає.

3. - функція не існує у точках . Знаходимо похідну

.

Корені похідної , та її точки розриву і розбивають числову вісь на 5 інтервалів, визначаємо знак похідної на кожному з них:

, функція спадає;

, функція зростає;

, функція зростає;

, функція спадає;

, функція спадає.

Тут числа - це пробні точки, з відповідних інтегралів, у яких визначався знак похідної.

4.Функція існує для всіх , її похідна

.

Оскільки похідна невід’ємна, то дана функція непарна для всіх .

5.Знайдемо спочатку область існування (визначення) функції ,

. Функція існує на проміжку . Похідна функції має вигляд

;

- корінь похідної, яка до того має таку область існування .

Для , функція зростає;

Для , функція спадає.

Відмітимо ще, що за допомогою похідної можна доводити деякі нерівності.

Приклади.Довести нерівності.

6. . 7. .

8. .

9. .

Розв’язання

6.Розглянемо допоміжну функцію . Знайдемо її похідну

, якщо .

Отже, - зростає і , тобто для . Геометрично, якщо побудувати графіки і , то тангенсоїда знаходиться вище бісектриси, в точці вони дотикаються.

7.Знайдемо похідну для допоміжної функції , для . Функція зростає для . У точці , а внаслідок зростання , якщо .

8.Розглянемо допоміжну функцію , , якщо , оскільки (див. приклад 6). Функція - спадна, тобто меншому значенню аргумента відповідає більше значення функції

.

9. .

,

якщо . Функція зростає, в точці . Отже, для , тобто

при .

Приклади для самостійного розв’язання.

Визначити проміжки монотонності функцій

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9.

Довести нерівності

10. , якщо .

11. .

12. .

13. .

Відповіді. 1. ; .

2. , якщо , якщо , . 3. , , , . 4. , , і т. д. 5. .

6. . 7. . 8. .

9. .

7.2. Максимуми і мінімуми функції

Означення 1.Функція y=f(x) має максимум в точці х₀, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не перевищують значення в самій точці, тобто

¦(х)£¦(х₀).

Означення 2. Функція y=f(x) має мінімум в точці х₁, якщо значення функції в деякому околі цієї точки не менші значення в самій точці, тобто

¦(х)³¦(х₁).

f(x₂)=y_max

Y f(x₀)=y_max

f(x₃)=y_min

f(x₁)=y_min

x₀ x₁ x₂ x₃ X

рис.42

Максимуми і мінімуми функції називають екстремуми. Функція y=f(x) може мати на даному відрізку декілька максимумів і мінімумів. Екстремуми мають локальний (місцевий) характер, вони описують поведінку функції тільки в околі даної точки.

Всі точки, в яких функція набуває екстремума називається критичними.

Наприклад. На рисунку 42 точки x₀,x₁,x₂,x₃ – критичні точки.

Теорема 1. (Необхідна умова екстремума). Якщо функція y=f(x) має екстремум при х=х₀, то похідна в цій точці, якщо вона існує, дорівнює нулю, тобто ¦¢(х₀)=0.

Наприклад. На рис.1 ¦¢(х₀)=¦¢(х₁)=¦¢(х₂)=0.

Теорема 1 виражає тільки необхідну умову екстремума, але не достатню, див. рис. 43

Y

¦¢(х₀)=0 y=f(x)

0 x₀ X

рис.43

Точки в яких ¦¢(х₀)=0 називаються стаціонарними, в них швидкість зміни функції дорівнює нулю.

Із викладеного випливає, що критичні точки функції, тобто точки екстремума, слідує шукати серед стаціонарних точок, де ¦¢(х₀)=0, також серед точок, в яких похідна ¦¢(х) не існує. Наприклад в точці х₃ (рис.42) функція має мінімум, але графік не є гладким, похідна в точці х₃ – не існує.

Теорема 2. (Достатня умова екстремуму). Нехай функція у=¦(х):

1) неперервна при х=х₀;

2) має похідну ¦¢(х₀) в деякому околі точки х₀, за винятком, можливо, самої цієї точки;

3) похідна зберігає знак окремо зліва і справа від х₀.

Тоді, якщо при переході через точку х₀ (зліва направо)

а) ¦¢(х) змінює знак з “+” на “–”, то при х=х₀ маємо максимум;

б) ¦¢(х) змінює знак з “–” на “+”, то при х=х₀ маємо мінімум;

в) якщо знак похідної не змінюється, то в точці х₀ екстремуму не має.

Теорема 3. (Друга достатня умова екстремуму). Якщо функція у=¦(х) в точці х=х₀ має першу і другу похідну, причому ¦¢(х₀)=0, а ¦¢¢(х₀)¹0, і ¦¢¢(х) неперервна в околі точки х=х₀, то в точці х=х₀ у=¦(х) має екстремум, причому це буде максимум, якщо ¦¢¢(х₀)<0, і мінімум, якщо ¦¢¢(х₀)>0.

Див., напр., рис. 44

Y

x₀ x₁ X

рис.44

Скорочено маємо:

Можуть зустрічатись випадки, коли ¦¢(х₀)=0 і ¦¢¢(х₀)=0, тоді користуються більш загальним твердженням.

Теорема 4. Якщо функція у=¦(х) має в околі точки х=х₀ неперервні похідні до n-го порядку (n>1) включно і якщо

в той час як f⁽ⁿ⁾(x₀)¹0, то при n парному функція має максимум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)<0, i мінімум, якщо f⁽ⁿ⁾(x₀)>0; якщо n –непарне, то функція екстремумав точці х=х₀ не має.