![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
A b c Xрис.46 На рисунку 46 крива y=f(x) – опукла в інтервалі (a, b), і угнута в інтервалі (c,d). Означення 2. Точка, яка відділяє опуклу частину графіка функції від угнутої називається точкою перегину. На рис.46 т. М – точка перегину з абсцисою х=b. Інтервали опуклості і угнутості кривої знаходяться за допомогою слідуючої теореми. Теорема 1. Нехай y=f(x) має похідні f¢(x) i f¢¢(x) в даному інтервалі. Тоді крива y=f(x) опукла в цьому інтервалі, якщо f¢¢(x)<0, i угнута, якщо f¢¢(x)>0, для всіх х з цього інтервала. Так, напр., відповідно на рис.1 f¢¢(x)<0, якщо хÎ(a, b), f¢¢(x)>0, якщо хÎ(c, d). Точки перегину знаходяться за наступною теоремою Теорема 2. (Достатня умова точки перегину). Якщо Приклад.Знайти проміжки проміжки опуклості, угнутостіта точки перегинуфункції.
Розв’язання. Задана функція визначена для всіх
Щоб знайти інтервали опуклості і угнутості необхідно знайти корені другої похідної, які разом з точками розриву (якщо такі є) розбивають область існування на проміжки. Якщо Якщо У тих точках, де друга похідна міняє знак, буде точка перегину, за умови, що функція в цій точці неперервна. Отже, розв’язуємо рівняння
на на на В точках
Приклади для самостійного розв’язання Знайти проміжки опуклості, угнутості та точки перегину кривих. 1. 2. 3. 6. Відповіді: 1.Опуклість на 7.5. Асимптоти графіка функції
(L) N (L)
(l)
рис.47 рис.48 Асимптоти розрізняють: 1) вертикальні; 2) похилі (окремий їх випадок – горизонтальні). 1. Вертикальні асимптоти. Будемо говорити, що пряма х=а є вертикальною асимптотою графіка функції y=f(x), якщо хоча б одна з односторонніх границь функції дорівнює нескінченості при х®а±0, тобто
M N x x=a X 2. Похилі асимптоти. Знаходяться у вигляді y=kx+b, де зокрема, якщо k=0, то отримуємо горизонтальну асимптоту y=b, де Приклади.Знайти асимптоти кривих: 1. Розв’язання 1.Із рівняння Вертикальних асимптот функція немає оскільки при Горизонтальних асимптоттеж немає,бо Знайдемо похилі асимптоти за формулою де Знайдемо
Знайдемо вільний член
Отже, отримали відомі рівняння асимптот гіперболи
2. Оскільки
то пряма Горизонтальних асимптоткриванемає,оскільки
Знаходимо похилі асимптотипри
Отже, існує права похила асимптота Знайдемо похилу асимптоту при оскільки
Отже, На рисунку зображені асимптоти та графік кривої.
Приклади для самостійного розв’язання.
|