Задача про силу струму.

2. Надамо х₀ приріст Dх (Dх може бути як додатнім так і від'ємним), отримаємо нове значення х=х₀+Dх. Обчислимо у₁=f(х₀+Dх).

3. Знайдемо приріст функції Dу = у₁- у₀ = f(х₀+Dх)- f(х₀).

4. Складемо відношення , яке означає середню швидкість зміни функції.

5. Знайдемо границю відношення приросту функції до приросту аргумента .

Означення. Похідноювід функції y=f(x) в точці x₀ називається границя відношення приросту функції Dy в цій точці до відповідного приросту аргумента Dх, коли останній прямує до нуля. Цю границю позначають

Прийнято використовувати також позначення границі (7): Зручність окремо кожного з них виявиться пізніше в конкретних випадках.

Тепер згідно з розглянутими задачами (1–5) можна відповідно записати:

Означення. Якщо існує скінченна границя вигляду (7) для функції f(x), тобто існує похідна в точці х₀ , то функція y=f(x) називається диференційовною в точці х₀.

Якщо функція y=f(x) диференційовна в кожній точці інтервалу (а, b), то вона називається диференційовною на цьому інтервалі.

Процес відшукання похідної за даною функцією називається диференціюванням.

Запишемо рівняння дотичної до кривої в точці . З аналітичної геометрії відомо, що рівняння прямої, яка проходить через задану точку з кутовим коефіцієнтом має вигляд:

. (1)

Як вже знаємо з попереднього параграфа і викладеного , а , тому остаточно отримуємо рівняння дотичної до кривої :

(2)

Означення.Пряма лінія, яка перпендикулярна до дотичної і проходить через точку дотику , називається нормаллю до кривої в ції точці.

Враховуючи умову перпендикулярності двох прямих з кутовими коефіцієнтами відповідно рівними і , кутовий коефіцієнт нормалі:

.

Тому згідно з (1), рівняння нормалі

. (3)

5.3. Диференційовність та неперервність

Теорема. Якщо функція y=f(x) диференційовна в деякій точці х=х₀, то вона в цій точці неперервна.

Доведення. За умовою теореми f(х)- диференційовна в т. х₀, тобто, існує

.

Згідно властивості границь ( де при ) можемо записати

( при )

(8)

Отримали формулу приросту функції в т. х₀, з якої маємо, що із співвідношення випливає . Останнє означає неперервність функції: н.м. приросту відповідає н.м. приріст . Таким чином, з диференційовності випливає неперервність.

Обернене твердження не завжди має місце, тобто існують приклади неперервних функцій, які в окремих точках не мають похідних, тобто недиференційовні. Геометрично це означає, що коли

функція має похідну (диференційовна) в точці х=х₀, то існує дотична до графіка в точці М₀(х₀, f(x₀)). Коли ж графік в точці М₀ має різкий злам (див. рис.37), то в цій точці до графіка можна провести лівосторонню дотичну М₁М₀ і правосторонню дотичну М₂М₀, тобто є дві односторонні дотичні, але єдиної дотичної не існує. Функція в точці х=х₀ недиференційовна.

M₀

y=f(x)

M₁ M₂

x₀ X

Рис.37

Якщо ж графік функції має дотичну не тільки в точці М₀ з абсцисою х=х₀, але й в деякому околі цієї точки, то при переміщенні з однієї точки дотику в іншу дотична плавно повертається. В кожній з абсцис точок дотику існує похідна, функція – диференційовна, тому ще прийнято говорити, що графік в околі точки М₀ – гладкий.Отже, якщо неперервність графіка сприймається, як суцільність його, то диференційовність характеризує гладкість графіка.

У випадку графіка з різким зламом говорять, що в цій точці графік негладкий.

Конкретними прикладами недиференційовних в окремих точках функції можуть бути (див.1.3, графіки на рис.1-3, а також див.рис.5).

5.4 Правила диференціювання

1⁰. Похідна сталої дорівнює нулю

Доведенняпроведемо за поданою раніше схемою.

1) За умовою

2) Для знаходимо

3)

4)

5)

2⁰. Похідна аргумента дорівнює 1, тобто

1)

2)

3)

4)

5)

3⁰. Похідна алгебраїчної суми диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій, тобто

Доведення. Нехай функція мають похідні

Розглянемо функцію тоді

4⁰. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку похідної першого співмножника на другий без зміни плюс добуток першого співмножника без зміни на похідну другого співмножника, тобто

Доведення. Згідно схеми маємо:

1)

2) надамо значенню х приріст , тоді функції і набудуть нових значень і . і нове значення добутку буде

3) .

4) .

5)

Оскільки і від не залежать, то їх можна виносити за знак границі. Отже, формула похідної добутку доведена.

Наслідок 1. Сталий множник можна виносити за знак похідної, тобто

.

Дійсно, згідно 1⁰і4⁰ маємо .

Наслідок 2. Для похідної добутку трьох співмножників маємо:

.

Очевидно, що формулу можна узагальнити на більшу кількість співмножників.

5⁰. Похідна степеневої функції знаходиться за формулою

Доведемо для n натурального

Випадок довільного дійсного n буде розглянутий далі.

6⁰. Похідна частки двох диференційовних функцій має вигляд

.

За умови, що

Доведення аналогічне правилу 4⁰.

Приклади. Знайти похідні

5.5 Похідна складної і оберненої функції

Розглянемо , або , - складну функцію, де U – проміжна зміна, – незалежна зміна.

Теорема 1. Нехай , і - диференційовні у відповідних точках функції, тоді похідна складної функції існує і дорівнює добуткові даної функції по проміжній змінній на похідну проміжної змінної по незалежній змінній, тобто

(1)

Доведення. Згідно викладених в 5.3 міркувань із умови існування похідної маємо

де при . Розділивши останню рівність на , знаходимо

(2)

Із умови диференційовності функції випливає її неперервність, тобто із , а, значить, тому в результаті граничного переходу в (2) при отримаємо

Наслідок. Для степеневої функції де маємо:

(3)

2.

3.

4.

5.

Перейдемо до розгляду похідної оберненої функції

Нехай - диференційовна і строго монотонна на деякому проміжку осі OX. Як вже відмічалося (див. 2.4): якщо неперервна, то для неї існує обернена функція теж неперервна на відповідному проміжку по змінній .

Теорема 2. Для диференційовної функції з похідною, відмінною від нуля, існує похідна оберненої функції, яка дорівнює оберненій величині похідної даної функції, тобто

. (4)

Доведення. Нехай - приріст змінної , якому відповідає приріст оберненої функції . Тоді правильна рівність

Перейшовши до границі при , і враховуючи, що згідно неперервності оберненої функції , маємо

Наприклад, функція має обернену для , тоді

А тепер розглянемо

5.6 Диференціювання основних елементарних функцій

5.6.1 Похідна логарифмічної функції

Похідну знаходимо за схемою:

1) .2)

3)

Ураховуючи властивість еквівалентності нескінченно малих при маємо

4) Знаходимо

Для складної функції

б) . За формулою переходу в логарифмах до нової основи маємо ,

,

тобто,

5.6.2 Похідна показникової функції

В результаті логарифмування обох частин маємо

Отже,

б) Згідно тотожності маємо

,

тобто,

5.6.3 Похідна степеневої функції , де - довільне дійсне число

Аналогічно попередньому

- довільне дійсне число. Зокрема, якщо , то

тому

Аналогічно,

5.6.4 Похідні тригонометричних функцій

1. Згідно означення маємо

Отже,

2. Із тригонометрії відомо, що ; , тому

3.

4.

5.6.5 Похідні обернених тригонометричних функцій

1. Переходимо до оберненої функції і диференціюємо обидві частини, причому зліва як складну функцію, 2. . З тригонометрії відомо, що тому

.

3.

4.

5.6.6 Похідна степенево-показникової функції , де - диференційовні функції. Знайдемо логарифми рівності і продиференціюємо обидві частини

.

Приклади. Знайти похідні

1)

2.

5.6.7 Похідна неявної функції

Функцію у аргумента х називають неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y)=0, яке не розв’язане відносно залежної змінної.

Наприклад, задає неявно дві функції , якщо , і якщо .

Неявні функції диференціюють як складні.

(1)

Переконаємось на прикладі функції при , що похідна її збігається з отриманим виразом (1). Дійсно,

.

Приклад. Знайти , якщо

Диференціюючи рівність, отримуємо

5.7 Таблиця похідних

5.8. Означення диференціала функції

Нехай функція y=f(x) диференційовна в точці х, тобто існує границя

Згадаємо властивість про зв’язок функції з її границею, а саме:

якщо, , то при х®х₀, де a(х)®0 нескінченно мала величина. Тому початкове співвідношення (8) можна записати:

де a(Dх)®0 – нескінченно мала величина при Dх®0. Співвідношення (9) показує, що приріст функції складається з двох доданків: a(Dх)×Dх – нескінченно малої величини вищого порядку малості при Dх®0 в порівнянні з f¢(x)×Dx (f¢(x)¹0). Тому f¢(х)×Dх є головною частиною приросту функції, лінійною відносно Dх.

Означення. Головна, лінійна відносно Dх, частина приросту функції називається диференціалом функції і позначається

dy = f¢(x)×Dx. (10)

Якщо в (10) взяти у=х , то dy=(x)¢×Dx Þ dy=Dx, але y=x, тому

d x = Dx –

для незалежної змінної х її диференціал збігається з приростом. В зв’язку з цим формула (10) приймає вигляд:

dy = f¢(x)dx – (11)

-формула диференціла функції.

З формули (11) маємо ще одне пояснення позначення похідної.

Розділимо почленно співвідношення (9) для приросту функції на і знайдемо границю при Dх®0.

Отже, приріст функції і її диференціал є еквівалентними

нескінченно малими величинами

Dy » dy. (12)

Співвідношення (12) використовують при наближеному обчисленні значення функції. Нехай x₁=x₀+Dx i, крім того, відомо значення f(x₀) i f¢(x₀), тоді

f(x₁)=f(x₀)+Dy » f(x₀)+dy = f(x₀)+f¢(x₀)×Dx. (13)

5.9. Геометричне тлумачення диференціала функції

Нехай y=f(x) диференційовна в точці х₀. Побудуємо її графік, в точці М₀(х₀, f(x₀)) проведемо дотичну, яка утворює з віссю ОХ кут a, а tga=f¢(x₀) (див. рис.38)

Y

M

L

M₀ a dy Dy

N

0 x₀ x₀+Dx X

рис.38