![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Приклади. Дослідити на екстремуми функції:Дослідити на екстремуми функції: 1. Розв’язання 1.1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну,
В даному прикладі точки розриву похідної відсутні. 2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали 3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної. В даному випадку: Якщо Якщо Якщо ж Тут 4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі з “-“ на “+”, то в точці з “+” на “-“, то в точці У даному прикладі при переході через
При переході через точку
Відповідь: 2. Знаходимо похідну
Похідна не існує в точці на на на на У точках
Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм. Позначимо через
Висота коробки - Рис. Функцію
Знаходимо похідну Прирівняємо похідну до нуля
Дослідимо знаки похідної.
Отже, при
Приклади для самостійного розв’язання Дослідити на екстремум такі функції: 1. 3. 5. 8. Відповіді: 1. 4. 8. 9. 10,
7.3. Найбільше і найменше значення функції на відрізку
Нехай у=¦(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти. Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b). Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку [a, b] потрібно: 1) знайти всі максимуми і мінімуми f(x) внутрі відрізка; 2) обчислити її значення на кінцях відрізка, тобто f(a) i f(b). 3) із всіх знайдених значень вибрати найбільше. Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку. На прикладі слідуючого рисунка маємо
M
mf(a)f(b)
a x1 x2 x3 b X рис.45 M=max{f(a), f(x2),f(b)}=f(b) – найбільше значення f(x); m= min{f(a), f(x1), f(x3), f(b)}=f(x1) – найменше значення f(x) на відрізку [a, b]. Приклади для самостійного розв’язання. Знайти найменше та найбільші значення функцій на заданих проміжках. 1. 3. 5. 7. 8. Відповіді: 1. 3.
7.4. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину Означення 1.Крива, що описується функцією y=f(x), називається опуклою в інтервалі (a, b) , якщо всі точки кривої лежать нижче довільної її дотичної проведеної в цьому інтервалі. Аналогічно, якщо всі точки кривої лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі, то крива називається угнутою.
y=f(x) M
|