Приклади. Дослідити на екстремуми функції:

Дослідити на екстремуми функції:

1. . 2. .

Розв’язання

1.1) Спочатку скористаємось необхідною умовою екстремума, прирівнявши до нуля першу похідну, . Звідки знайдемо стаціонарні точки. Знаходимо також точки розриву похідної, якщо такі є.

.

В даному прикладі точки розриву похідної відсутні.

2) Наносимо нулі і точки розриву похідної на числову вісь, яка розбивається при цьому на інтервали

3) Методом проб відшукуємо інтервали монотонності функції за знаками похідної.

В даному випадку:

Якщо , то із маємо , функція - зростає;

Якщо , то із функція - спадає;

Якщо ж , то , функція - зростає.

Тут - пробні точки з відповідних інтегралів.

4) Перевіримо достатню умову екстремума, а саме, якщо при переході в напряму осі через точку похідна міняє знак

з “-“ на “+”, то в точці - ,

з “+” на “-“, то в точці - .

У даному прикладі при переході через міняє знак з “+” на “-“. Отже, у точці функція має максимум,

.

При переході через точку в напрямку осі знак похідної міняється з “-“ на “+”. Отже, в точці функція має мінімум

.

Відповідь: .

2. . Область існування: .

Знаходимо похідну

.

Похідна не існує в точці і має нулі в точках , . Наносимо їх на числову вісь і отримуємо інтервали

на - ф. зростає;

на - ф. зростає;

на - ф. спадає;

на - ф. зростає.

У точках і похідна міняє знак, значить то є екстремум, причому в точці (знак з “+” на “-“) – максимум, а в точці (знак з “-“ на “+”) – мінімум.

;

.

Задача. По кожному з кутів квадратного листа картону, сторона якого 60 см, вирізають однакові квадратики і відкидають їх. З матеріалу, що залишився, згинають картон так, щоб утворились бічні грані коробки без кришки. Яка повинна бути довжина сторони вирізуваного квадратика, щоб після склеювання отримати коробку максимального об’єму? Знайти цей об’єм.

Позначимо через довжину сторони одного з чотирьох вирізуваних квадратиків, які відкидаються. На рисунку вони заштриховані. По пунктирних лініях робиться згин частин картону. Дно коробки – це квадрат зі стороною довжини . Площа дна

,

Висота коробки - , тоді об’єм

Рис.

Функцію дослідимо на екстремум, спростивши її

.

Знаходимо похідну

Прирівняємо похідну до нуля

.

.

Дослідимо знаки похідної.

Отже, при об’єм досягає максимуму.

Приклади для самостійного розв’язання

Дослідити на екстремум такі функції:

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. . 7. .

8. . 9. . 10. .

Відповіді: 1. . 2. ; . 3. ; .

4. . 5.екстремума немає. 6. ; . 7. .

8. .

9. .

10, .

7.3. Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Нехай у=¦(х) неперервна на відрізку [a, b], тоді відомо, що f(x) досягає свого найменшого m і найбільшого M значень. Задача полягає в тому, щоб їх знайти.

Припустимо, що на відрізку [a, b] f(x) має скінченне число критичних точок. Якщо найбільшого значення функція досягає внутрі [a, b], то це буде найбільший із максимумів. Але може бути, що найбільшого значення y=f(x) досягає на одному з кінців відрізка, тому знаходимо додатково ще f(a) i f(b).

Отже, щоб знайти найбільше значення функції y=f(x) на відрізку

[a, b] потрібно:

1) знайти всі максимуми і мінімуми f(x) внутрі відрізка;

2) обчислити її значення на кінцях відрізка, тобто f(a) i f(b).

3) із всіх знайдених значень вибрати найбільше.

Аналогічним чином знаходять найменше значення функції на відрізку.

На прикладі слідуючого рисунка маємо

Y

M

mf(a)f(b)

a x₁ x₂ x₃ b X

M=max{f(a), f(x₂),f(b)}=f(b) – найбільше значення f(x);

m= min{f(a), f(x₁), f(x₃), f(b)}=f(x₁) – найменше значення f(x) на відрізку [a, b].

Приклади для самостійного розв’язання.

Знайти найменше та найбільші значення функцій на заданих проміжках.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. .

8. . 9. .

Відповіді: 1. . 2. .

3. . 4. не існує; . 5. . 6. . 7. не існує. 8. не існує. 9. .

7.4. Опуклість і угнутість кривої. Точки перегину

Означення 1.Крива, що описується функцією y=f(x), називається опуклою в інтервалі (a, b) , якщо всі точки кривої лежать нижче довільної її дотичної проведеної в цьому інтервалі.

Аналогічно, якщо всі точки кривої лежать вище довільної дотичної на цьому інтервалі, то крива називається угнутою.

Y