Способы задания множеств

М. Стоун

Основные понятия теории множеств

В конце XIX века в математической науке возникла необходимость уточнить смысл таких ведущих понятий, как функция, непрерывность и т. д. Для этого нужно было строго определить, что такое натуральное число. Поиски ответа на эти сложные вопросы способствовали развитию новых математических идей, поэтому в конце XIX начале XX столетий происходил пересмотр старых представлений буквально во всех областях математических знаний. В результате в конце XIX века возникла новая область математики – теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 – 1918). За небольшой срок теория множеств стала фундаментом всей математики.

Понятие множества является ключевым в математике, без которого невозможно изложение ни одного из ее разделов. Подсознательно первые представления о множестве у человека начинают формироваться с рождения, когда он погружается в многообразный мир окружающих его объектов и явлений. С первых же шагов мы не просто пополняем список знакомых нам объектов и явлений, а начинаем дифференцировать и классифицировать (горячие и холодные, сладкие и горькие, тяжелые и легкие и т. п.), объединяя тем самым объекты в некоторые совокупности.

В математике понятие множествоиспользуется для описания предметов или объектов. При этом предполагается, что предметы (объекты) данной совокупности можно отличить друг от друга и от предметов, не входящих в эту совокупность.

Создатель теории множеств Г. Кантор определил множество как «объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью», а так же «множество есть многое мыслимое нами как единое». Эти слова не могут рассматриваться как математически строгое определение множества, такого определения не существует. Понятие множества относится к исходным (не определяемым), на основании которых строятся остальные понятия математики.

Множество – это совокупность каких-либо объектов. Так, можно говорить о множестве всех книг данной библиотеки, множестве всех вершин данного многоугольника, множестве всех натуральных чисел, множестве всех точек данной прямой и т. д. Объекты, входящие в данное множество называются элементами множества. Книги данной библиотеки, вершины данного многоугольника, натуральные числа, точки данной прямой являются элементами соответствующих множеств.

Множества обычно обозначаются большими буквами A, B, X, а их элементы – малыми буквами а, b, x.

Множество называется конечным, если количество его элементов можно выразить целым неотрицательным числом (причем неважно, известно это число или нет, главное, оно существует), в противном случае множество называется бесконечным.

Пример 1: Множество книг в библиотеке, множество студентов в группе являются конечными. Множество натуральных чисел, множество точек прямой являются бесконечными.

Количество элементов множества обозначается |A|.

Пример 2: Пусть В – множество правильных многоугольников. Тогда В = {тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр}. |B| = 5.

Запись x Х, означает что объект х есть элемент множества Х, читается «х принадлежит множеству Х», «х входит в множество Х». Если х не принадлежит множеству Х, то пишут х Х.

Например, если через Nобозначим множество натуральных чисел, то 3 N,20 N,0 N, N.

Если все элементы множества А принадлежат какому-то множеству В, то говорят, что множество А является подмножеством множества В. Записывают А В (множество А содержится во множестве В). Любое множество является подмножеством самого себя, т. е. справедливо утверждение А А.

Если множество не содержит ни одного элемента, то его называют пустым и обозначают символом Ø. Пустое множество является подмножеством любого множества.

Подмножества, которые содержат не все элементы множества В, называют собственными подмножествами множества В.

Пример 3: Дано множество М = {a; c; m}. Найти все его подмножества.

Решение:

M₁ = {a}, M₂ = {c}, M₃ = {m}, M₄ = {a; c}, M₅ = {a; m}, M₆ = {c; m}, M₇ = {a; c; m}, M₈ = Ø.

Множества M₇ и M₈ называются несобственными подмножествами множества М.

Множества А и В называют равными (А = В), если. они состоят из одних и тех же элементов,т.е. В А и А В.

Например, множества А = {3, 5, 7, 9} и В = {7, 3, 9, 5} равны, т. к. состоят из одинаковых элементов.

Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми. Примерами числовых множеств являются:

Ν={1; 2; 3; ...; n; ...} – множество натуральных чисел – множество чисел, использующихся при счете предметов;

Ζ₀={0; 1; 2; ...; n; ...} – множество целых неотрицательных чисел – множество натуральных чисел с нулем;

Ζ={0; ±1; ±2; ...; ±n; ...} – множество целых чисел – множество целых неотрицательных чисели им противоположных;

Q={ : m Z, n N} – множество рациональных чисел – множество чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби – множество конечных и бесконечных периодических десятичных дробей;

R – множество действительных чисел – объединение множеств рациональных и иррациональных чисел.

Между этими множествами существует соотношение: .

Множество R содержит рациональные и иррациональные числа. Всякое рациональное число выражается или конечной десятичной дробью или бесконечной периодической дробью. Так, ½=0,5 (=0,5000…), ⅓=0,333… – рациональные числа.

Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными. Иррациональное число выражается бесконечной непериодической дробью. Например, = 1,4142356…, π = 3,1415926… – иррациональные числа.

Способы задания множеств

Понятие множества мы используем без определения. Но как узнать, является та или иная совокупность множеством или не является?

Считают, что множество определяется своими элементами, т.е. множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству или не принадлежит.

Множество можно задать, перечислив все его элементы. Например, если мы скажем, что множество А состоит из чисел 3, 4, 5, и 6, то мы задали это множество, поскольку все его элементы окажутся перечисленными. При этом возможна запись, в которой перечисляемые элементы заключаются в фигурные скобки: А = {3, 4, 5, 6}.

Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. Трудно задать таким способом и конечное множество с большим числом элементов. В таких случаях применяют другой способ задания множества: указывают характеристическое свойство его элементов.

Характеристическое свойство– это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.

Рассмотрим, например, множество А двузначных чисел: свойство, которым обладает каждый элемент данного множества, – «быть двузначным числом». Это характеристическое свойство дает возможность решать вопрос о том, принадлежит какой-либо объект множеству А или не принадлежит. Так, число 45 содержится в множестве А, поскольку оно двузначное, а число 145 множеству А не принадлежит, так как оно не является двузначным.

Случается, что одно и то же множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными соседними сторонами и как множество ромбов с прямым углом.

В тех случаях, когда характеристическое свойство элементов множества можно представить в символической форме, возможна соответствующая запись множества. Например, множество А натуральных чисел, меньших 7, можно задать так: А = {х| х Nи х < 7}. При такой записи буквой х обозначается элемент множества А. для этих целей можно использовать и другие буквы латинского алфавита.

Пример 5: Даны множества: М = {2; 3; 5; 7}, N = {-5; -4; -3; -2}, F = {x| x Z, -6 < x < -1}, D = {x| x N, x < 10, x – простое число}. Какие множества равны между собой?

Решение: Множества F и D заданы характеристическими свойствами. Для того, чтобы сравнить их между собой и с остальными множествами, сформулируем их характеристические свойства словами, а затем зададим их перечислением элементов.

F – множество целых чисел, больших «-6» и меньших «-1». Этому свойству удовлетворяют числа -5, -4, -3, и -2. Из этих чисел состоит множество N. Значит, F = N.

D – множество натуральных чисел, которые меньше 10 и являются простыми. Этому свойству удовлетворяют числа 2, 3, 5 и 7. Из этих чисел состоит множество M. Следовательно, D = M.