Средние степенные величины

Общая формула для вычисления средней степенной k-го порядка.

, (3.9)

где x_i>0.

Из формулы средней степенной при определенном значении k можно получить формулы для расчета всех видов средних.

Средние степенные могут иметь две формулы расчета: взвешенную (если в исходных данных есть частота проявления признака) и невзвешенную (простую).

1) При k = –1 получаем формулу средней гармонической.

Средняя гармоническая взвешенная используется для расчета средних показателей в статике и в динамике, когда известны индивидуальные знания признака и веса W за ряд временных интервалов:

, где (3.10)

Средняя гармоническая невзвешенная. Эта форма средней, используемая в случае, когда веса равны, имеет следующий вид:

, (3.11)

В случаях, когда не известны отдельные значения признака x_i, а известны частоты отдельных значений признака f_i и произведения используется средняя агрегатная:

2) При k = 0 с помощью математических преобразований получим формулу средней геометрической.

взвешенной:

, (3.12)

или средней геометрической простой:

. (3.13)

Средняя геометрическая применяется в тех случаях, когда индивидуальные значения признака заданы как относительные величины, которые определяют темп (коэффициент) роста. Средняя геометрическая – это средний темп роста в рядах динамики.

Наиболее широкое применение этот вид средней получил в анализе динамики для определения среднего темпа роста.

3) При k = 1 – арифметическая.

Средняя арифметическая взвешенная используется,когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок.

, (3.14)

где f_i – частота повторяемости i-го варианта.

Средняя арифметическая простая (невзвешенная)используется в тех случаях, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным.

, (3.15)

где x_i – i-й вариант осредняемого признака ( ); n – число вариант.

4) При k = 2 получаем формулу средней квадратической:

– взвешенная, (3.16)

– невзвешенная; (3.17)

Применяется если признаки измеряются в квадрате или кубе.

В статистическом анализе также применяются степенные средние 3-го и более высоких порядков.

Правило мажорантности средних: с ростом показателя степени значения средних возрастают.

. (3.18)