Структурные средние величины

В условиях недостаточности средних используют структурные средние величины – моду и медиану.

Медиана (Ме) – это вариант, который находится в середине ранжированного вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Модой(Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Задача 1. 9 торговых фирм реализуют товар А по следующим ценам, тыс. руб.:

4,4 4,3 4,4 4,5 4,3 4,3 4,6 4,2 4,6.

М_о = 4,3.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование:

4,2 4,3 4,3 4,3 4,4 4,4 4,5 4,6 4,6.

М_е = 4,4.

Задача 2. Найти моду и медиану по имеющимся данным о распределении торговых предприятий города по уровню цен на товар А:

Медиана в интервальных вариационных рядах рассчитывается по формуле:

, (3.25)

где х₀ – нижняя граница медианного интервала (накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

– величина медианного интервала;

– накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

– частота медианного интервала.

Также в интервальных вариационных рядах медиана может быть найдена с помощью кумуляты как значение признака, для которого

или . (3.26)

Главное свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины: .

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения – отношение частоты интервала к его величине n_i/h_i – в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

, (3.27)

где х_о – нижняя граница модального интервала;

– величина модального интервала;

, , – частота n_i (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения n_i/h_i (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, до и послемодального интервала.

Мода так же, как и медиана обладает определенной устойчивостью к вариации признака. Если в совокупности первичных признаков нет повторяющихся значений, то для определения моды проводят группировку.

В симметричных рядах имеет место следующее соотношение моды, медианы и средней арифметической

. (3.28)

В случае, если

, (3.29)

имеет место левосторонняя асимметрия ряда.

В случае, если

, (3.30)

имеет место правосторонняя асимметрия ряда.

Мода и медиана,в отличие от степенных средних, являются конкретными характеристиками ряда. Медиана – характеризует центр, вычисляется проще и не чувствительна к концам интервала. Мода – наиболее вероятное значение в изучаемой совокупности (например, наибольший спрос, наиболее возможные результаты).

Задача 3. Рассчитать моду и медиану по имеющимся данным о распределении семей города по размеру среднедушевого денежного дохода:

Интервал с границами 3000 – 4000 в данном распределении будет модальным, т.к. он имеет наибольшую частоту, и медианным, т.к. накопленная частота его впервые превышает 50%. Определим моду:

3727 руб.

Определим медиану:

3800 руб.

Рисунок 3.1 – Графическое отображение интервального вариационного ряда