Множества мощности континуум.

1. Множество мощности континуум несчётно.

Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1]. Каждой точке хÎ[0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х=a₀, a₁a₂a_3…..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление с периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:

Построенная точка не может входить в последовательность х⁽¹⁾, х⁽²⁾, х⁽³⁾,…, х⁽ⁿ⁾,…(х¹ х⁽ⁿ⁾,т.к. b_(n)¹a_n⁽ⁿ⁾)- получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка.

2. Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то -множество, равномощное А.

Выберем в А счётное подмножество С и пусть D=А\С. Тогда А= D С; А В= D (С В). С и В - счётные множества, следовательно, С В -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и С В. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами D С и D (С В), что означает равномощность множеств А и А В.

Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.

Задание. Самостоятельно доказать следующие утверждения:

3. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуум.

4. Число, не являющееся алгебраическим, называется трансцендентным. Доказать, что множество трансцендентных чисел имеет мощность континуум.