Теоремы прямая, обратная, противоположная.

Простейшая форма математической теоремы такова: "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) (дальше это утверждение будем называть прямой теоремой). Смысл этой записи: если элемент х множества Х имеет свойство А(х) (условие теоремы), то он имеет и свойство В(х) (заключение теоремы). Пусть, для примера, П ={Р₁, Р₂, Р₃, …}- множество точек плоскости. Тогда формулировка теоремы Пифагора будет такова:

{"(Р₁ÎП, Р₂ÎП, Р₃ÎП) ÐР₁Р₂Р₃=p/2 Þ | Р₁Р₂| ²+| Р₂Р₃| ²=| Р₁Р₃| ²}.

Исходя из утверждения "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) можно построить новые утверждения:

"хÎХ (В(х)ÞА(х)) (обратная теорема);

"хÎХ (ùА(х)Þ ùВ(х)) (противоположная теорема);

"хÎХ (ùВ(х)Þ ùА(х)) (теорема, противоположная обратной).

Сформулируем эти утверждения для теоремы Пифагора:

обратная теорема: {"(Р₁ÎП, Р₂ÎП, Р₃ÎП) | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²=| Р₁Р₃|² Þ ÐР₁Р₂Р₃=p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне - прямой) - верное утверждение;

противоположная теорема: {"(Р₁ÎП, Р₂ÎП, Р₃ÎП) ÐР₁Р₂Р₃¹p/2 Þ | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²¹| Р₁Р₃|²} (если какой-либо угол треугольника не прямой ,то квадрат противолежащей стороны не может быть равен сумме квадратов остальных сторон - верное утверждение (следствие теоремы косинусов));

теорема, противоположная обратной: {"(Р₁ÎП, Р₂ÎП, Р₃ÎП) | Р₁Р₂|²+| Р₂Р₃|²¹| Р₁Р₃|² Þ ÐР₁Р₂Р₃¹p/2} (если квадрат какой-либо стороны треугольника не равен сумме квадратов остальных сторон, то угол, противолежащий этой стороне, не может быть прямым) - верное утверждение.

Однако если верна прямая теорема, это не означает, что всегда будут верны все остальные. Рассмотрим утверждение: "если десятичная запись натурального числа заканчивается нулем, то это число делится на пять без остатка" . Обратная теорема ("если натуральное число делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа заканчивается нулем") - ложна (число х=15 делится нацело на 5, но не оканчивается нулём). Противоположное утверждение "если десятичная запись натурального числа не заканчивается нулем, то это число не делится на пять без остатка" ( ) тоже ложно (опровергающий пример - х=15). Утверждение, противоположное обратному: "если натуральное число не делится на пять без остатка, то десятичная запись этого числа не может заканчиваться нулем" - истинно. Докажем общее утверждение

Теор. 2.3.1. Теоремы прямая и противоположная обратной, обратная и противоположная попарно либо обе истинны, либо обе ложны.

Док-во. Составим таблицу истинности для высказываний А, В и требуемых импликаций:

эквивалентности (АÞВ)Û( ùВÞùА); (ВÞА) Û( ùАÞùВ), которые и требовалось доказать.