Бином Ньютона.

Набор элементов , (всего m элементов), выбранных без повторения из множества {a₁, a₂, a₃, …, a_n}, содержащего n элементов, где называется выборкой объема m из n элементов. Пусть, например, даны выборки {a₁, a₄}, {a₂, a₃, a₄}, {a₃, a₂, a₄}; все приведенные выборки разные: первые две отличаются количеством элементов, последние две выборки отличаются порядком элементов.

Выборки , в которых учитывается не только набор элементов, но и их порядок, называются размещениями. Число различных возможных размещений из n элементов множества по m (m - объем выборки) обозначается символом . Имеет место формула

Доказательство: если все множество содержит n элементов, то имеется ровно n вариантов выбора одного элемента; при любом выборе первого элемента вариантов выбора второго элемента будет n-1; следовательно, вариантов выбора двух элементов будет n(n-1); вариантов выбора третьего элемента из оставшихся n-2 элементов будет тоже n-2; следовательно, три элемента можно выбрать n(n -1)( n -2) способами; таким образом, для любого числа , получаем

где ; при этом по определению полагается 1!=1, 0!=1.

Выборки, для которых m = n, называются перестановками. Например, {a₁, a₂, a₃}, {a₂, a₃, a₁}, {a₃, a₁, a₂} и т.д. Число перестановок из n элементов обозначается символом P_n, так как

P_n = = n(n - 1)(n - 2) ... (n – n + 1), то P_n = n!

Если учитывается только набор элементов в выборке (независимо от их порядка), то такие выборки называются сочетаниями. Пусть, например, имеются выборки {a₁, a₂, a₃}, {a₂, a₃, a₁},

{a₃, a₆, a₂}; первые две из них получаются друг из друга перестановкой элементов, поэтому как сочетания они не различаются (но различаются как перестановки); две последние выборки содержат разные наборы элементов, поэтому как сочетания они разные. Число сочетаний из n элементов по m обозначим . Если набор содержит n элементов, то из этих элементов можно сделать размещений, при этом каждому размещению соответствует еще P_m - 1 размещение, отличающееся от него только порядком элементов, т.е. тождественные с ним как сочетания. Поэтому , то есть .

Частные случаи: если m = 0, то ;если m = 1, то ; если

m = 2, то ; …; если m = n - 1, то ; если

m = n, то .

Биномом Ньютона называют разложение выражения по степеням a и b (n - натуральное число).

Количество слагаемых в многочлене до приведения подобных членов при увеличении показателя степени на единицу увеличивается в два раза (поэтому общее количество слагаемых до приведения подобных членов будет равно 2^{n + 1}). Когда приводятся подобные члены в многочлене , то определяются по сути количества одинаковых слагаемых, то есть числа сочетаний из n элементов по m (ясно, что ).

До сложения показателей слагаемые в разложении бинома имеют вид: ; каждое слагаемое содержит n множителей. Количество слагаемых, которые содержат множитель m раз совпадает с количеством сочетаний по m из n элементов; такие слагаемые будут иметь вид ; общее число таких слагаемых равно , что приводит к так называемой формуле бинома Ньютона:

¯

Для наглядного представления значений биномиальных коэффициентов применяют таблицу, называемую треугольником Паскаля:

Каждый внутренний элемент этой таблицы получается как сумма элементов, стоящих левее и правее строкой выше.

Рассмотрим некоторые свойства биномиальных коэффициентов, которые хорошо просматриваются в треугольнике Паскаля:

а). Свойство, используемое при построении треугольника Паскаля:

.

б). Число элементов в строке (в разложении бинома степени n) на единицу больше показателя степени бинома.

в). Сумма биномиальных коэффициентов в любой строке равна 2ⁿ, то есть

.

г). , так как .

Это свойство означает, что таблица Паскаля симметрична относительно своей центральной линии, или, другими словами, равноотстоящие от краев элементы строки одинаковы: нулевой элемент равен последнему ; первый элемент равен предпоследнему и т.д.

д). Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетныx местах.

е).Каждый элемент строки равен предшествующему, умноженному на коэффициент, равный , то есть . В самом деле, .