Достаточность и необходимость; существование и единственность.

Переведём формулировку теоремы "хÎХ (А(х)ÞВ(х)) на термины "необходимо", "достаточно": если для элемента х множества Х истинно утверждение А(х), то истинно и утверждение В(х). Таким образом, свойство В(х) необходимо для выполнения А(х) (если ложно В(х), то не может быть истинно А(х); необходимо целое число делится на 5 без остатка, если его десятичная запись оканчивается нулём). С другой стороны, условие А(х) достаточно для того, чтобы имело место В(х) (равенство последней цифры десятичной записи целого числа нулю достаточно, чтобы это число делилось на 5 без остатка).

В математике часто встречаются теоремы, для которых утверждения А(х) и В(х) имеют совпадающие области истинности и эквивалентны на этих областях: "хÎХ (А(х)Û В(х) ("для истинности А(х) необходима и достаточна истинность В(х)"; " А(х) истинно тогда и только тогда, когда истиино В(х)"). Как следует из формулы 12. (АÛВ) Û (АÞВ)Ù(ВÞА) таблицы "Свойства логических операций", в этом случае одновременно должны быть справедливы и прямая, и обратная теоремы ("треугольник прямоугольный тогда и только тогда, когда квадрат какой-либо стороны равен сумме квадратов остальных сторон"). Закономерен вопрос: зачем вводить два свойства (термина, определения) для описания одной и той же сущности? Ответ заключён в приведённом примере: каждое из свойств может лучше описывать ту или иную сторону этой сущности (одно свойство относится к углам, другое - к сторонам).

Особый класс математических теорем образуют теоремы существования. Их структура - $хÎХА(х) (на множестве Х существует элемент х, для которого верно утверждение А(х)). Пример: если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует (хотя бы один) корень уравнения f(x)=0 (приведённая на иллюстрации функция имеет три корня). В некоторых случаях принципиальна единственность такого элемента х. Так, при численном решении уравнения f(x)=0 многие итерационные процессы перестают работать, если на [a,b] имеется более одного корня уравнения. Существование единственного корня обеспечит такая формулировка теоремы: "если непрерывная на отрезке [a,b] функция f(x) монотонна и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то на [a,b] существует единственный корень уравнения f(x)=0".

Структура теорем существования и единственности: $!хÎХА(х).