Угол между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности

Точка пересечения двух прямых

Решение данной задачи, очевидно, возможно построением. Здесь демонстрируется аналитическое ее решение. Пусть даны уравнения двух прямых

и . Необходимо найти координаты общей точки этих прямых. Для этого нужно решить систему уравнений

.

Применим метод Крамера. Если основной определитель системы , система имеет единственное решение

,

причем формулы Крамера дают координаты этой точки.

Если , а или , система несовместна (прямые параллельны).

Если все три определителя равны нулю, система имеет бесчисленное множество решений (прямые совпали).

Замечание. Эту же задачу можно решить в иной постановке, решив систему уравнений и . Для ее решения достаточно приравнять правые части этих уравнений.

Угол между прямыми, условие их параллельности и перпендикулярности

Прямые заданы уравнениями и , причем угловые их коэффициенты не равны нулю, то есть ни одна из них не параллельна оси абсцисс. Пусть , где и углы между прямыми и осью . Тогда угол между прямыми определяется формулой , следовательно, , но . Искомая формула принимает вид

.

Замечание. Формула "несимметрична", она определяет угол между первой и второй прямыми. Чтобы определить смежный угол между прямыми (угол между второй и первой прямыми), в формуле следует поменять местами и . При этом следует помнить, что положительное направление отсчета угла – против часовой стрелки.

Если прямые параллельны, то , следовательно, условие параллельности прямых .

Условие перпендикулярности прямых , откуда следует . Для доказательства этих условий запишем . Угол между перпендикулярными прямыми , тогда , откуда имеем .

Замечание. В более простых случаях, когда одна из прямых параллельна либо оси абсцисс, либо оси ординат, следует применять формулу .