Общее уравнение второй степени, приведение его к каноническому виду

Полное уравнение второй степени имеет вид

.

Рассмотрим самый простой случай, когда в общем уравнении отсутствует произведение переменных, то есть

.

Он оправдан еще тем, что общее уравнение одной из кривых – окружности – не содержит этого слагаемого. В этом случае достаточно параллельного переноса координат, рассмотренного в §2.1. Покажем, как это делается на примерах.

Примеры 1) Изобразить кривую .

Решение.

. Это окружность с центром в точке и радиусом 5.

2) Установить вид кривой .

Решение.

.

Введем новые координаты . Это соответствует параллельному переносу системы координат. Координаты нового начала . Уравнение кривой имеет вид . Это эллипс.

Замечание. Уравнение второй степени не обязательно соответствует одной из кривых второго порядка. Так, соответствует точке , дает пустое множество, соответствует паре прямых. В самом деле . Получили две прямые: биссектрисы первой и второй координатных четвертей.

§2.11. Аналитическая геометрия в пространстве. Уравнения плоскости и прямой линии

В пространстве к уравнению прямой добавляется уравнение плоскости. Коротко рассмотрим виды этих уравнений.

Общее уравнение плоскости является алгебраическим уравнением первого порядка относительно координат (x; y; z).

- нормаль, т.е. вектор, перпендикулярный плоскости.

Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормалей.

Рассмотрим некоторые стандартные виды уравнений плоскости:

1.	Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору , проходящей через данную точку М0 ( х0, y0, z0 )	A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
2.	Плоскость, проходящая через три заданные точки М1(х1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3)
3.	Параллельная двум заданным векторам и , ( не коллинеарен ), проходящим через точку М0(х0,y0,z0)
4.	Проходящая через две заданные точки М1 и М2, параллельно вектору , ( не коллинеарен )
5.	Проходящая через заданную точку М0(x0,y0,z0), перпендикулярно двум заданным плоскостям: (1) A1x+B1y+C1z+D1=0 (2) A2x+B2y+C2z+D2=0

Собственно уравнения будут получены, если раскрыть соответствующий определитель справа по первой строке.

Прямая линия в пространстве определяется как линия пересечения двух не параллельных плоскостей (любых, проходящих через прямую).

Виды уравнений прямой в пространстве:

		Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей)
	, М0 (x0,y0,z0) – любая точка, лежащая на прямой. - направляющий вектор прямой	Канонические уравнения прямой или уравнения прямой, проходящей через заданную точку с заданным направляющим вектором
		Параметрические уравнения прямой
		Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки М1 и М2

Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве определяются как условия соответственно коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов. Пусть прямые (1) и (2) заданы в каноническом или параметрическом виде, тогда .

	Перпендикулярные прямые не обязательно пересекаются. l1l2+m1m2+n1n2=0.

Переход от общих уравнений прямой к уравнениям в каноническом или параметрическом виде осуществляется следующим образом (возможен и обратный переход).

Заданы уравнения прямой в общем виде: .

Найдем координаты направляющего вектора: как векторное произведение нормалей плоскостей, задающих прямую.

Найдем любую точку, принадлежащую прямой. Она также принадлежит обеим плоскостям, задающим прямую, поэтому ее координаты (x₀,y₀,z₀) можно найти из системы уравнений:

,

в которой одну из координат надо задать произвольно (т.к. находим любую точку), но так, чтобы система имела единственное решение. Координаты вектора и найденной точки подставляют в канонические или параметрические уравнения.

Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости формулируют как условия перпендикулярности и параллельности нормали и направляющего вектора.

, Al+Bm+Cn=0.	, .