Окружность

Окружностью называется множество точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром окружности.

Из школьного курса известно общее уравнение окружности с центром в точке и радиусом

.

Раскрывая скобки

,

убеждаемся, что в самом общем уравнении окружности не присутствует произведение переменных .

Можно привести это уравнение к наипростейшему виду, потребовав, чтобы начало координат совпадало с центром окружности. Тогда , и уравнение принимает вид

.

Это уравнение называется каноническим уравнением окружности.

Эллипс

Эллипсом называется множество точек, сумма расстояний от которых до двух заданных точек, называемых фокусами, постоянна.

Из определения следует, что известны две точки – фокусы эллипса и сумма расстояний от точки эллипса до этих точек . Если за ось принять прямую, проходящую через фокусы эллипса, а начало координат поместить в середину отрезка , то каноническое уравнение эллипса примет вид

.

Поскольку обе переменные во второй степени, эллипс симметричен относительно обеих координат и расположен между точками , и , . Это легко установить, положив в уравнении вначале , затем , то есть определив точки пересечения эллипса с осями координат.

Часто называют большой и малой осями эллипса, а его полуосями.

Кроме трех параметров, определяющих эллипс, вводят четвертый - эксцентриситет эллипса, определяемый формулой , при этом . При имеем , или , и эллипс превращается в окружность. С ростом эллипс становится все более "приплюснутым", то есть длина его вертикальной оси уменьшается по сравнению с горизонтальной. При имеем , и эллипс превращается в разрез. Построим эллипс при с помощью программы Maxima. Для этого применяется команда plot2d ([parametric, 4*cos(t), 3*sin(t), [t, 0, 2*%pi]]).Как видим, здесь для корректного построения эллипса пришлось перейти к параметрическому заданию его уравнения в виде

. Эллипс выглядит так: