Теоремы о среднем.

В этот раздел включен ряд теорем, имеющих важное теоретическое значение и являющихся базовыми при построении многих вычислительных схем.

Теорема Ролля. Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема внутри его ( т.е. на (a;b) ), а также имеет место равенство f(a)=f(b), то с (a;b) такая, что f’(c)=0.

Комментарий. Геометрически это означает, что внутри отрезка есть по крайней мере одно точка, в которой касательная к кривой параллельна Ох.

Док. Т.к. f(x) - непрерывна, то существуют на этом отрезке наибольшее М и наименьшее m значения этой функции.

1.Пусть М= m. Это означает, что f(x)=сonst и потому f’(х)=0 (в любой точке).

2.Пусть M>m. Тогда из условия f(a)=f(b) следует, что либо М, либо m находятся внутри отрезка [a;b]. Пусть это будет М. Тогда возьмем в качестве с точку, в которой f(c)=M. В таком случае х такое, что f(c)=f(c+ х)- f(c) 0. В таких условиях имеем

но, т.к. для любого х производная существует, то существуют и , . Отсюда следует, что , что и требовалось доказать.

Аналогичные рассуждения справедливы, если рассматривать наименьшее значение m.

Комментарий. Из условия теоремы нельзя выбрасывать ни одного из условий. Так при нарушении условия f(a)=f(b) можем получить Рис 4.2а.

a b a b a b

а) b)

Рис 4.2. К теореме Ролля.

При нарушении условия дифференцируемости получаем Рис 4.2.b. А если f(x) разрывна на отрезке, то можно получить ситуацию Рис 4.2.с. И во всех случаях ни о какой горизонтальной касательной речь не может идти.

Cледствие. 1.Если f(a)=f(b)=0 и f(x) непрерывна и дифференцируема, то то с (a;b) такая, что f’(c)=0. Это означает, что между двумя корнями (нулями) функции всегда расположен корень ее производной.

2.Если на [a;b] f(x) имеет n-1 производную и n раз обращается в нуль, то на этом отрезке с (a;b) такая, что f⁽ⁿ⁾(c)=0.

Теорема Лагранжа (формула конечных приращений). Если f(x) непрерывна на [a;b], дифференцируема внутри его ( т.е. на (a;b), то с (a;b) такая, что справедливо соотношение =f’(c).

Комментарии. Геометрически вывод(результат) этой теоремы говорит о том, что для непрерывной на отрезке функции всегда найдется внутри отрезка тоска (хотя бы одна), касательная к графику кривой в которой параллельна секущей, соединяющей две любые точки графика кривой.

Формула является базовой (краеугольный камень) всей вычислительной математики.

Встречается иная форма записи этого равенства f(x)=f(x_o)+f’(x_o)(x-x_o) или

f(x)= f’(x_o+ х) х, где 0< <1.

Доказательство. Построим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)-

- (x-a).

Эта функция непрерывна на [a;b], дифференцируема внутри его ( т.е. на (a;b). Для нее выполняются условия теоремы Ролля F(a)=F(b)=0. И потому с (a;b) такая, что F⁽ⁿ⁾(c)=0. Получаем F’(x)=f’(x)- . И в точке с имеем f’(c)- =0. Откуда и следует утверждение теоремы.

Теорема Коши. Если f(x) и ф(х) непрерывны на [a;b], дифференцируемы внутри его ( т.е. на (a;b) и ф’(х) 0 ни в одной точке отрезка, то с (a;b) такая что справедливо = .

Док. Сначала покажем, что ф(b)-ф(а) 0. В самом деле, если бы это было не так, то для выбранной с мы получили бы ф’(с)= 0, что противоречит условию теоремы.

Построим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)- (ф(x)-ф(a)). Эта функция непрерывна на [a;b], дифференцируема внутри его ( т.е. на (a;b). Для нее выполняются условия теоремы Ролля F(a)=F(b)=0. И потому с (a;b) такая, что F⁽ⁿ⁾(c)=0. Получаем F’(x)=f’(x)- ф’(х). И в точке с имеем f’(c)- ф’(с). =0. Откуда и следует утверждение теоремы.

Комментарий. Доказательство не следует из формулы Лагранжа, записанной сначала для одной и затем для другой функции с последующим делением одного равенства на другое, т.к. в формулах Лагранжа для разных функций точка с может быть разная.

Правило Лопиталя. Если f(x) и ф(х) непрерывны в точке а, дифференцируемы в ее окрестности , f(a)=ф(а)=0, ф’(а) 0 и существует , то существует и равен ему .

Доказательство. Запишем теорему Коши для точек х, а и с

= . Если теперь х а, то и с а. Получаем = = .

Комментарий. Правило Лопиталя – необходимое условие, но не является достаточным. Это означает, что если не существует, то ничего нельзя сказать о наличии . Он может существовать, а может и нет.

Существует и другая схема доказательства (по А.Д. Мышкису). Пусть f(t) и ф(t) непрерывны при t t_o и f(t_o)=ф(t_o)=0. Рассмотрим функцию, заданную параметрически , график которой приближается к началу координат (0;0). Найдем угловой коэффициент касательной к этой кривой, когда кривая входит в эту точку (при t t_o). Имеем k=tg = = . Но ведь угловой коэффициент касательной – это предельное значение углового коэффициента секущей k_сек= , когда t t_o. Имеем k_сек= =k= . Если последний существует.

Правило Лопиталя удобно применять при вычислении пределов типа . Технология применения должна быть очень строгой :

-сначала установи (узнай) тип предела ;

-затем вычисли предел ; если он существует (конечен или бесконечен), то переходи к следующему пункту; иначе применяй для вычисления другой способ;

-делай запись = .

Зная связь бесконечно малых величин (бмв) с бесконечно большими величинами (ббв), можно переходить к раскрытию неопределенностей иного вида. Для сокращения записи юудем применять символы 0 и с индексами для обозначения бмв и ббв. Ниже записаны схемы преобразования неопределенностей, а справа – краткие пояснения к ним.

= (использована связь ббв = и деление дробей)

0₁* ₂ ( записана ббв как дробь и умножение выражения на дробь)

(основное логарифмическое тождество и далее в

показателе записан рассмотренный выше тип предела) и т.д.

Важный пример 4.2. Вычислите . Решение. Обе функции удовлетворяют правилу Лопиталя. После n шагов применения (на каждом шаге функции всегда удовлетворяют правилу Лопиталя) получаем ответ . Значит исходный предел тоже равен .

Комментарий. Экспонента растет быстрее любой степенной функции при х .

Пример 4.3. Вычислите . Решение. Решение. Обе функции удовлетворяют правилу Лопиталя. После шага применения получаем , который не существует. Применять повторно правило нельзя. Отсюда не следует, что исходный предел тоже не существует (см комментарий после док-ва правила). Чтобы убедиться в существовании исходного предела, достаточно в нем разделить числитель и знаменатель на х (использовать другой способ раскрытия неопределенности типа ). Получаем = =1.

Формула Тейлора. Выводится как расширение применения формулы дифференциала в приближенных вычислениях. Рассматриваем отдельно для полинома P_n(x) и для функции f(x).

Пусть дан полином P_n(x) =b_o+b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ . Если в нем земенить x=x-x_o+x_o=(x-x_o)+x_o , а затем возвести в нужные степени, привести подобные, не раскрывая скобок (x-x_o) , то мы получим тот же полином , но в виде P_n(x)= а_o+а₁(x-x_o)+а₂(x-x_o)²+а₃(x-x_o)³+…+а_n(x-x_o)ⁿ. Принято говорить, что исходный полином представлен степенями х, а преобразованный представлен степенями (x-x_o). При кажущейся бессмысленности достаточно рассмотреть пример, чтобы убедиться в том, что есть ситуации, когда второй представление гораздо удобнее и рациональнее. Например, если требуется вычислить значение полинома при х=1,000035 с достаточно высокой степенью точности (с очень малой погрешностью). Тогда сразу становится ясным резко увеличенный расход сил при использовании первоначального представления (подстановки значения 1,000035 в полином b_o+b₁x+b₂x²+b₃x³+…+b_nxⁿ). Если же использовать полином во втором представлении при x_o =1, то становится ясным, что для получения требуемого результата достаточно вычислить 3-4 первых слагаемых, т.к. остальные слагаемые будут представлять весьма малую величину и по отдельности и в сумме.

Руководствуясь целями экономии затрат при вычислениях, выясним, как подсчитать значения коэффициентов а_i i=1,2,3,…,n для полинома P_n(x).

Отметим, что при х= x_o получаем равенство P_n(x_o)= а_o. Если теперь найти производную P’_n(x_o)= 1*а₁+2*а₂(x-x_o)+3*а₃(x-x_o)²+…+n*а_n(x-x_o)^n-1 и подставить в обе части равенства x_o, то получим P’_n(x_o)= 1*а₁ .Откуда а₁= . Если теперь найти вторую производную от полинома P’’_n(x_o)= 1*2*а₂+2*3*а₃(x-x_o)+…+n*(n-1)а_n(x-x_o)^n-2 и подставить в обе части равенства x_o , то получим P’’_n(x_o)= 1*2*а₂. Откуда а₂= . И т.д. Тогда ша шаге i получим

a_i= . Коэффициенты, вычисленные по этой формуле , называют коэффициентами Тейлора для полинома. Если их подставить на свой места, то получим

P_n(x)=P_n(x_o)+ (x-x_o)+ (x-x_o)²+ (x-x_o)³+…+ (x-x_o)ⁿ.

Это равенство и называют формулой Тейлора для полинома, а правую часть равенства - полиномом Тейлора.

На основании полученного построим полином Тейлора для функции f(x).

Пусть имеется некоторая непрерывная в x_o функция, имеющая достаточно много производных в этой точке. Тогда можно записать символическое представление этой функции, взяв за основу формулу Тейлора для полинома

f(x) f(x_o)+ (x-x_o)+ (x-x_o)²+ (x-x_o)³+…+ (x-x_o)ⁿ. Естественно, что равенства здесь быть не может. Для получения равенства прибавим справа некоторое выражение R_n(x) и назовем его остаточный член. Получим

f(x)=f(x_o)+ (x-x_o)+ (x-x_o)²+ (x-x_o)³+…+ (x-x_o)ⁿ +R_n(x).

Слагаемое f(x_o)+ (x-x_o)+ (x-x_o)²+ (x-x_o)³+…+ (x-x_o)ⁿ принято называть полиномом Тейлора для функции f(x). Легко показать, что при определенных условиях, налагаемых на функцию, остаточный член есть малая величина, которую можно принять за погрешность при замене функции полиномом Тейлора.

Теорема. Если f(x) непрерывна вместе со своими производными до порядка n включительно и f⁽ⁿ⁾(x) ограничена в окрестности точки x_o, то остаточный член R_n(x) есть бесконечно малая величина порядка малости более высокого , чем (х-х_о)ⁿ при х х_о.

Док. Ограничимся в рассуждениях величиной R₂(x). Тогда имеем равенство f(x)-f(x_o)- (x-x_o)- (x-x_o)²=R₂(x). Теперь вычислим предел = . Легко видеть, что это предел типа , т.е. в числителе и знаменателе записаны бмв в данных условиях. И нам просто нужно сравнить эти бмв. Сделаем это, используя правило Лопиталя раскрытия такого типа неопределенностей. После первого шага имеем . Это опять предел такого типа и мы повторим правило Лопиталя. Получим =0. Следовательно и исходный предел равен нулю. А потому R₂(x) есть бмв порядка малости более высокого, чем (х-х_о)² .

Лагранж предложил записывать R_n(x) в виде (x-x_o)ⁿ , где С – некоторая тоска между х и x_o. Такая форма записи соответствует форме записи слагаемых в формуле Тейлора и не противоречит доказанной теореме.

Т.о. получаем окончательно формулу Тейлора для функции

f(x)=f(x_o)+ (x-x_o)+ (x-x_o)²+…+ (x-x_o)ⁿ + (x-x_o)ⁿ.

С помощью этой формулы можно получить весьма удобные представления трансцендентных функций. Например, функция е^х – непрерывна и имеет неограниченно много непрерывных производных в окрестности точки x_o=0. И потому формула Тейлора для нее имеет вид

е^х =1+x+ x²+…+ xⁿ + xⁿ. Достаточно подсчитать нужные производные в указанной точке (все они равны 1) и получим указанное представление функции .

Совершенно аналогично после вычисления нескольких производных в точке x_o=0 можно получить представление функций

Sinx= x- x³+ x⁵…+(-1)^n-1 x^2n-1 + R_n(x) и

Cosx=1- x²+ x⁴…+(-1)^n-1 x²ⁿ+ R_n(x).

Отметим, что такие представления не нарушают, например, свойства четности и нечетности самих функций. Сами эти представления заложены в программы микросхем, используемых в калькуляторах. Все это позволяет вычислять значения трансцендентных функций посредством простых арифметических операций. Погрешность результата при таких вычислениях определяется значением остаточного члена для конкретной ситуации.

Пример 4.4. Вычислить приближенно значение е^0,3 , взяв в формуле Тейлора первые три слагаемых и оценить погрешность результата.

Решение. В данном случае имеем представление

е^0,3 =1+0,3+ 0,3²+ 0,3³. До начала вычислений установим возможную погрешность будущего результата. Это нужно обязательно выполнить вначале работы, чтобы промежуточные расчеты заранее выполнять с должной точностью(без лишних вычислительных затрат). Т.к. С, записанное в остаточном члене R₃(x), находится где-то между 0 и 0,3 , то это означает, что величина е^С не превышает 2 (при желании это можно уточнить, но это уже будет не оценка, а повторное вычисление). Следовательно, величина R₃(x) не превышает значения + 0,3³, которое можно оценить величиной 0,01 (оно не больше 0,01). Т.о. результативная погрешность не превышает 0,01. Все промежуточные расчеты следует проделывать с тремя десятичными знаками (один запасной) после десятичной запятой. Получаем е^0,3 =1+0,3+ 0,3²=

=1,000+0,333+0,045=1,378=1,38. (все равенства приближенные).