Определение и осн. свойства производной.

Основным понятием раздела является понятие производной.

Опр. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, называют производной функции в данной точке.

Если функция задана y=f(x) (т.е. явно), то символически это записывают так =y’. Используют и другие обозначения : f’(x) ; y’(x) f’_x(x) ; y’_x(x) и др., о которых будет сказано далее.

Из определения вытекает алгоритм вычисления производной.

1-й шаг. Возьми точку х и вычисли значение функции f(x) в этой точке.

2-й шаг. Возьми приращение аргумента , получи новую точку х+ и вычисли значение функции f(x+ ) в новой точке.

3-й шаг. Вычисли приращение функции = f(x+ )- f(x), полученное функцией при переходе от точки х к точке x+ .

4-й шаг. Найди отношение .

5-й шаг. Вычисли, если возможно, предел . Если этот предел существует, то его значение и есть искомая производная y’ в заданной точке х.

К понятию производной пришли при решении типовых задач физики и геометрии.

Задача о касательной к кривой. Пусть дана кривая y=f(x). Требуется вычислить угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой в заданной точке.

В

y=f(x)

b С

a

А D

х х+Dх

Рис 4.1. Геометрическая интерпретация производной

Решение. Возьмем две точки на кривой y=f(x): А(х, f(x)) и В(x+ ,f(x+ )).

Проведем через эти точки секущую АВ. Легко найти угловой коэффициент прямой АВ как отношение =tgb . Если теперь устремить к нулю, то секущая будет поворачиваться и в пределе займет положение касательной АС, угловой коэффициент которой равен tga=

lim tgb=lim .Все пределы вычислены при условии 0. Отсюда следует, что производную функции y=f(x) в данной точке можно истолковать геометрически как угловой коэффициент касательной, проведенной в данной точке к этой кривой.

Задача о скорости. Пусть известен (задан) закон движения s=S(t) (зависимость изменения пути от времени). Найти скорость движения в данный момент времени.

Решение. К моменту времени t пройден путь S(t). Тогда к моменту времени t+ будет пройден путь S(t+ ). Это значит, что за время пройден путь , равный S(t+ )- S(t). Средняя скорость движения за промежуток времени можно вычислить по отношению . Чем меньше промежуток времени , выбранный для измерения средней скорости, тем точнее средняя скорость характеризует процесс движения. Естественно, что при 0 lim даст значение скорости движения в момент времени t – это значение принято называть мгновенной скоростью (или просто скоростью движения в данный момент времени). Поэтому производную S’(t) можно истолковать как скорость движения v(t).

Теорема. Если y=f(x) имеет производную в точке х, то функция непрерывна в данной точке.

Док. Воспользуемся связью предела и бмв : =y’+a( ) . Из этого соотношения следует непрерывность, т.к. = y’ +a( ) 0 при 0.

Комментарий. Обратное не всегда верно, т.к. предел можно вычислять как односторонний и получать одинаковые ответы. А в самой точке функция может не иметь значения и , значит быть разрывной.

Чтобы всякий раз не применять алгоритм вычисления производной выведем основные правила вычисления производной и составим таблицу производных основных элементарных функций

Таблица и основные правила.

Применяя алгоритм, легко получить такие правила поиска производных:

(с)’=0 ; x’=1; (u(x) v(x))’=( u(x))’ (v(x))’.

Сложнее получить формулу (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x). Получим ее, несколько сократив запись алгоритма. Получаем f(x)= u(x)v(x). Тогда f(x+ )= u(x+ )v(x+ ). Но лучше это записать так f(x+ )= (u(x)+ )(v(x)+ ), потому что при изменении переменной х изменяются и переменные u и v. Далее получаем f(x+ )- f(x)== (u(x)+ )(v(x)+ )--u(x)v(x)= v(x) +u(x) . Разделим полученное на и вычислим предел отношения. Получим рабочую формулу.

По аналогичной схеме можно получить производную частного

= . Для доказательства достаточно записать f(x+ )= в виде f(x+ )= и далее продолжить алгоритм вычисления производной = =

= = .

Если y=f(x) и х=ф(у) взаимно обратные функции, то их производные связаны соотношением y’_x= . Доказательство следует из =

Если y=f(x) и х=ф(t) (т.е. y=f(ф(t)) – сложная функция), то y’_t= y’_xx’_t , где y’_x= f’_x(x) , а x’_t = ф’_t(t).

Доказательство следует из цепочки преобразований = и затем вычислить предел полученного при 0, что приведет к тому что 0.

Бывают ситуации, когда функция y=f(x) задана параметрически, т.е. в виде . Тогда используют тот факт, что отношение всегда можно преобразовать по схеме . А при вычислении производной получить в ответе запись y’= .

Используя эти правила, получаем сначала таблицу производных основных элементарных функций.

Функция Ее производная Вывод формулы и комментарии

y=a^x , a 1,a>0; y’= a^x lna; Имеем y+ = a^x+ , =a^x+ -a^x = a^x (a -1)

Теперь = =

= a^x = a^x lna.

y=e^x , y’= e^x ; Как частный случай для предыдущей

формулы.

y=lnx y’= ; Т.к. х=e^у , то на основании связи производных

взаимно обратных функций имеем

(lnx)’_x= == = .

y=х^a , y’=aх^a-1 , Имеем y=х^a = e^alnx . Далее используем

предыдущую формулу и производную от

сложной

функции y’= e^{alnx a} = aх^a-1 .

y=Sinx y’=Cosx Имеем =Sin(x+ )-Sinx=2Cos Sin ;

теперь y’= =

=Cosx.

y=Cosx y’=-Sinx В самом деле (Cosx)’=(sin( -x))’=

Cos( -x)(-x)’=-Sinx. Применена формула

Приведения и производная сложной

функции.

y=tgx y’= Достаточно записать производную от дроби

(tgx)’= далее преобразовать рез-т.

y=arcSinx y’= В самом деле, по условию x=Siny. Для

взаимно обратных функций имеем (arcSinx)’=

= = = = .

y=arctgx y’= Схему получения смотри выше.

y=arcCosx y’=- Ввиду того, что arcCosx= -arcSinx.

y=arcctgx y’=- Схему получения смотри выше.

В тех случаях, когда применить вышеприведенные правила и таблицу затруднительно, можно использовать прием, называемый логарифмическим дифференцированием . Пусть мы имеем y= . Тогда невозможно применить ни одну их записанных выше формул. Поступают так. Сначала логарифмируем обе части равенства и получаем lny=ф(х)ln(f(x)). Теперь возьмем производную от каждой части равенства, зная, что у – это функция от х. Получаем y’=ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x). Из полученного равенства найдем требуемое

y’=y(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x))= (ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).

Возможен и другой подход. Имеем y= = . После чего можно искать производную по правилу сложной функции. Получаем

y’= ( ф’(x)lnf(x)+ф(x) f’(x))= (ф’(x)ln(f(x))+ф(x) f’(x)).

Если же функция y=f(x) задана неявно, т.е. уравнением F(x;y)=0, то для поиска производной следует взять производную от равенства F(x;y)=0, зная, что у= f(x), хотя f(x) и неизвестна. Затем из полученного равенства находят y’.