![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение и осн. свойства производной.Основным понятием раздела является понятие производной. Опр. Предел отношения приращения функции в данной точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, называют производной функции в данной точке. Если функция задана y=f(x) (т.е. явно), то символически это записывают так Из определения вытекает алгоритм вычисления производной. 1-й шаг. Возьми точку х и вычисли значение функции f(x) в этой точке. 2-й шаг. Возьми приращение аргумента 3-й шаг. Вычисли приращение функции 4-й шаг. Найди отношение 5-й шаг. Вычисли, если возможно, предел К понятию производной пришли при решении типовых задач физики и геометрии.
y=f(x)
b С
Рис 4.1. Геометрическая интерпретация производной Решение. Возьмем две точки на кривой y=f(x): А(х, f(x)) и В(x+ Проведем через эти точки секущую АВ. Легко найти угловой коэффициент прямой АВ как отношение lim tgb=lim Задача о скорости. Пусть известен (задан) закон движения s=S(t) (зависимость изменения пути от времени). Найти скорость движения в данный момент времени. Решение. К моменту времени t пройден путь S(t). Тогда к моменту времени t+ Теорема. Если y=f(x) имеет производную в точке х, то функция непрерывна в данной точке. Док. Воспользуемся связью предела и бмв : Комментарий. Обратное не всегда верно, т.к. предел можно вычислять как односторонний и получать одинаковые ответы. А в самой точке функция может не иметь значения и , значит быть разрывной. Чтобы всякий раз не применять алгоритм вычисления производной выведем основные правила вычисления производной и составим таблицу производных основных элементарных функций Таблица и основные правила. Применяя алгоритм, легко получить такие правила поиска производных: (с)’=0 ; x’=1; (u(x) Сложнее получить формулу (u(x)v(x))’=u’(x)v(x)+u(x)v(x). Получим ее, несколько сократив запись алгоритма. Получаем f(x)= u(x)v(x). Тогда f(x+ По аналогичной схеме можно получить производную частного
Если y=f(x) и х=ф(у) взаимно обратные функции, то их производные связаны соотношением y’x= Если y=f(x) и х=ф(t) (т.е. y=f(ф(t)) – сложная функция), то y’t= y’xx’t , где y’x= f’x(x) , а x’t = ф’t(t). Доказательство следует из цепочки преобразований Бывают ситуации, когда функция y=f(x) задана параметрически, т.е. в виде
Используя эти правила, получаем сначала таблицу производных основных элементарных функций.
Функция Ее производная Вывод формулы и комментарии y=ax , a Теперь = ax y=ex , y’= ex ; Как частный случай для предыдущей формулы. y=lnx y’= взаимно обратных функций имеем (lnx)’x= y=хa , y’=aхa-1 , Имеем y=хa = ealnx . Далее используем предыдущую формулу и производную от сложной функции y’= ealnx a y=Sinx y’=Cosx Имеем теперь y’=
y=Cosx y’=-Sinx В самом деле (Cosx)’=(sin( Cos( Приведения и производная сложной функции. y=tgx y’= (tgx)’= y=arcSinx y’= взаимно обратных функций имеем (arcSinx)’= = y=arctgx y’= y=arcCosx y’=- y=arcctgx y’=- В тех случаях, когда применить вышеприведенные правила и таблицу затруднительно, можно использовать прием, называемый логарифмическим дифференцированием . Пусть мы имеем y= y’=y(ф’(x)ln(f(x))+ф(x) Возможен и другой подход. Имеем y= y’= Если же функция y=f(x) задана неявно, т.е. уравнением F(x;y)=0, то для поиска производной следует взять производную от равенства F(x;y)=0, зная, что у= f(x), хотя f(x) и неизвестна. Затем из полученного равенства находят y’.
|