Кривые в полярной системе координат

Наряду с декартовой системой координат с перпендикулярными осями и равномерной шкалой используют и другие системы отсчета (локализации, фиксирования, однозначного установления местоположения точек). В частности, в приложениях математики и спец.дисциплинах применяют полярную систему координат.

Зафиксируем точку О на плоскости и назовем ее полюс. Из этой точки проведем луч и выберем на нем направление и масштаб. Назовем этот луч полярой. Местоположение произвольной точки плоскости зададим указанием расстояния ее от полюса r (иногда пишутr) и направлением на точку – углом ф, отсчитанным против часовой стрелки от направления поляры до направления на точку. Таким образом, мы определили полярную систему координат на плоскости и установили координаты произвольной точки плоскости в этой системе отсчета (координат).

При этом мы обнаруживаем, что во многих случаях все точки плоскости однозначно определяются при изменении полярных координат в таких пределах 0 r < и 0 ф < 2p. В других случаях используют и отрицательные значения для ф. Тогда его возможные значения берут от p – до p. Иногда необходимо проследить за поведением точки при 0 ф < . Поэтому до введения такой системы следует установить диапазоны изменения ее координат.

Рассмотрим конкретные примеры построения кривых в такой системе коодинат.

Пример 3.4. Построить линии а) r=0,5ф ; b) r= Sin4ф ; c) r= .

Решение. а)Первая схема. Строим кривую, расположив полярную систему как обычную декартову. Получаем Рис.3.6.а) первая схема. Истолковы-

r

r=0,5ф

0,5p О p поляра

a

а)первая схема окончательная кривая

Рис 3.5. Построение линии r=3ф.

ваем зависимость r=0,5ф как всякую линейную в виде прямой с угловым

коэффициентом 0,5. Отмечаем особенность вида вспомогательной кривой – у системы нет отрицательных полуосей. Затем строим окончательную кривую, руководствуясь законом (функцией) – чем больше ф тем больше r. Причем и ф и r измеряется в действительных числах! Получаем окончательную кривую. При этом мы видим . что пределов 0 ф < 2pявно не хватает, для изображения кривой, т.к. точка продолжает удаляться от полюса.

Вторая схема не требует вспомогательного рисунка, т.к. достаточно закона расстояние от полюса то точки в два раза меньше численного значения угла, указывающего направление не точку. И сразу получать окончательную кривую.

При построении графика r= Sin4ф также можно работать по двум схемам. В первом случае строим синусоиду с частотой 4 (т.е. в 4 раза сжатой к оси Оу вдоль оси Ох.). Затем отбрасываем промежутки аргумента х, для которого r= Sin4ф принимает отрицательные значения . На остальных

Рис 3.6. График кривой, если оси ф и r расположены как декартовы

y

ф=p/4

O x

Рис 3.7.Кривая r= Sin4ф в полярной системе, совмещенной с декартовой

(Ох – поляра; О - полюс). 4-хлепестковая роза.