Основные элементарные функции и наиболее важные функции

Используя известные сведения и приведенный алгоритм, можно сделать обзор графиков некоторых важных в приложениях функций.

Определение. Назовем основными элементарными функциями такие: степенная у=х^а (а- действительное); показательная у=а^х (а>0 и а 1); логарифмическая у=log_ax (а>0 и а 1); круговые тригонометрические y=Sinx, y=Cosx, y=tgx, y=ctgx; обратные тригонометрические y=arcSinx, y=arcCosx, y=arctgx, y=arcctgx. Они и служат базовыми при построении графиков других функций.

Опр. Все функции, которые получены из основных элементарных действиями сложения, вычитания, умножения, деления и наложения функциональной зависимости (суперпозиции), назовем элементарными.

Все остальные функции назовем неэлементарными.

Все степенные функции у=х^а при а>0 имеют графики, которые условно можно назвать параболами. Схематическое их построение следует начинать с величины показателя а. Графики всех парабол проходят через две точки О(0;0) и А(1;1). При 0 < а < 1 ветви всех парабол изогнуты выпуклостью вверх , а при а >1 изогнуты выпуклостью вправо. После построения ветви параболы в

1-й четверти декартовой системы координат переходят к построению в других четвертях, используя свойство четности, нечетности и расположение области определения. Так, например, график функции y= проходит через известные точки О и А, представлен выпуклой ветвью в 1-й четверти. Т.к. функция определена при любых х, то можно воспользоваться четностью и отразить центрально ветвь параболы из 1-й четверти в 3-ю (центр симметрии – начало координат точка О).

При отрицательном а графики степенных функций условно назовем гиперболами , т.к. схематически графики похожи на график обратно пропорциональной зависимости у= . Остальная схема построения графика изложена выше.

На основе графика функции у= следует научиться строить график дробно-линейной функции у= . Для этого сначала выполняют преобразование правой части равенства делением “уголком” и получают сумму целой части и правильной дроби. Затем приводят выражение к виду у= . Остается выполнить деформацию кривой у= с коэффициентом А и затем реализовать сдвиг вдоль осей координат полученного графика.

У у

*(2;3)

* (1;1) + (0;1)

О х х

+(-1;-1)

Рис 3.3. Базовая гипербола (слева) и преобразованная (справа)

Приаер 3.3. Пусть нам требуется построить схематически график функции у= . Выполним деление “уголком” 2х-5 х-1 Получаем

2х-2 2

-3

у= +2. Выполним растяжение графика с левого рисунка в 3 раза вдоль Оу

от Ох. Затем полученную кривую сдвинем вправо на 1 и вверх на 2 . Получим правую кривую. При необходимости можно вычислить координаты точек пересечения результативной кривой с осями координат.

Показательную функцию у=а^х (а>0 и а 1) часто называют экспонентой и обозначают так у=ехр_ах. Отметим, что все экспоненты проходят через точку (0;1). При 0 < а < 1 экспоненты убывают, но остаются положительными, а при

а >1 все экспоненты возрастают, оставаясь положительными. Легко видеть, что при очень больших а и при очень малых а (но всегда положительных!) графики экспонент очень “крутые”. При а близких к 1 графики очень “пологие” и прижимаются к горизонтальной прямой у=1. Норвежский математик Непер предположил, что существует такое основание а, при котором касательная к экспоненте в точке (0;1) образует угол 45^о с осью Ох. При дальнейших исследованиях выяснилось , что таким числов будет иррациональное число, значение которого приближенно равно 2,71828…. Это число принято называть числом Непера и обозначать буквой е. Т.о. имеем приближенное равенство

е= 2,71828…. Показательная функция с таким основанием записываеттся так у=е^х или у=ехрх (символ онования функции подразумевается по умолчанию).

Графики экспонент приводить не будем в силу их общеизвестности.

Логарифмическая функция y=log_ax (а>0 и а 1) определяется (договор!) как обратная к экспоненте и потому подчиняется все свойствам обратной функции : область определения y=log_ax – положительные х (т.е. область значений экспоненты); график y=log_ax симметричен графику экспоненты относительно биссектрисы у=х первого и третьего координатных углов. Это значит, что все логарифмики (графики логарифмических функций) проходят через точку (1;0). При 0 < а < 1 все логарифмы – убывающие функции, а при

а >1 все логарифмы возрастающие функции. И при этом все графики расположены правее оси Оу. Наиболее широко используют логарифмы по основаниям 10 (обозначение y=lgx) и натуральные (неперовы ) логарифмы (обозначение lnx). Последняя логарифмика обладает свойством – касательная к этой кривой в точке (1;0) проходит под углом 45^о к оси Ох. Эта функция, наряду с функцией у=е^х (или у=ехрх) наиболее применяемы в технических приложениях математики.

Круговые тригонометрические функции y=Sinx, y=Cosx,y=tgx, y=ctgx известны из школьного курса. Отметим лишь, что они периодические и потому обладают специфическими свойствами (см. 3.2.1). И что они поинтервально монотонны.

На основании круговых тригонометрических функций строятся обратные для них : y=arcSinx, y=arcCosx, y=arctgx, y=arcctgx. Графики обратных тригонометрических функций строят только для того участка области определения основной функции, на котором основная функция монотонна. Сначала строят монотонную часть основной функции. Затем полученный график отражают в биссектрисе 1-го и 3-го координатных углов. Ниже приведены рисунки построенных взаимно обратных функций y=Sinx и y=arcSinx, а также y=tgx и y=arctgx. Аналогично строятся графики функций

Y=arcCosx y=arcctgx.

Y

/2 y=arcSinx

у=x

y=Sinx

1

- /2 -1 1 /2 X

-1

- /2

Y

Y=tgx y=x

/2

y=arctgx

- /2 /2 X

- /2

Рис 3.4. Примеры построения обратных функций

В математических приложениях применяются гиперболические функции. Рассмотрим только две из них y=Shx (гиперболический синус) и y=Chx (гиперболический косинус). Эти две функции определяются равенствами y=Shx= и y=Chx= . В отличие от круговых тригонометрических функций (функций в круге), обладающих свойством Cos²x +Sin²x =1, гиперболические обладают свойством Cos²x - Sin²x =1. Первое из известных тождеств похоже на уравнение окружности с центром в начале координат и единичным радиусом (поэтому и функции в круге или круговые). А второе похоже на каноническое уравнение гиперболы (а потому и функции гиперболические). Графики этих функций строят схематически, используя принцип «суммирования ординат».

Известно, что линейная комбинация гармоник одинаковой частоты есть гармоника той же частоты. В самом деле

aSinkt+bCoskt= ( Sinkt+ Coskt) =

=A(CosфSinkt+Sinф Coskt)=Asin(kt+ф). В самом деле, выражения и по модулю не превосходят 1 , а в сумме дают 1. Поэтому они могут быть истолкованы как синус и косинус (в любом порядке; в данном случае они истолкованы так =Sinф =Cosф). Далее применена формула синуса суммы двух углов (а может быть применена формула разности углов). Величина А, полученная в результате преобразования, носит название амплитуды гармоники k - частоты.

Руководствуясь такой схемой можно утверждать качественно, что графиком функции f(x)=e^lx Sin(kx+ф) будет график затухающиих (приl < 0) или развивающихся (приl > 0) колебаний , т.к. e^lx может быть истолкована как амплитуда этих колебаний.