Функция, способы ее задания, свойства, график функции, преобразование графика сдвигом и деформацией.

Если х Х по закону f ставится (ставят) в соответствие единственное действительное у У, то говорят, что на множестве Х задана функция аргумента х. Пишут так у=f(x).

( х Х читаем так: для любого х из множества Х)

Множество Х принято называть областью определения функции. Она может быть задана или ее находят , используя вид функции. Множество У называют областью значений. Иногда область значений находят или она известна.

Например, областью определения функции y=lnx являются положительные действительные числа (пишут так х>0). Областью значений этой функции будут все действительные числа.

В обозначении у=f(x) содержится двусмысленность. Дело в том, что f (закон) - это фактически перечень правил, в строгой последовательности выполнения которых получаем единственное действительное значение у для произвольно взятого значения х из Х. Т.е. записано «число равно закону» , что фактичеки неверно, но исторически принято считать приемлемой такую запись. Поэтому часто в литературе можно встретить и запись вида у=у(х), что также считается приемлемым. Просто не следует забывать, что есть что в записи у=f(x) (или у=у(х) ).

Рассматривают несколько способов задания функции. Аналитический – с помощью одной или нескольких «формул». При этом запись вида у=f(х) рассматривают как явный способ задания функции. Если же переменных х и у связаны уравнением с двумя переменными, то говорят о неявном способе задания функии (Фактически, записав у=f(х) в виде у-f(х)=0 или f(х)-у=0 мы получаем неявное задание функции). Если же переменные (аргумент и функцию удобно связать соотношениями то говорят о параметрическом задании функции (связь реализована через параметр t).

Из других способов задания функции отметим табличный способ и программный. В первом случае функция представляет собой таблицу с одним входом (столбец значений аргумента) и одним выходом (столбец значений функции). А во втором результат вычислений представлен либо цифровыми данным на экране или в файле.

Графиком функции называют кривую в избранной системе координат. При этом каждая точка кривой имеет координаты х и у , связанные законом f.

Опр. Пусть х Х R задана у=f(х). Пусть t T R задана x=ф(t). Тогда говорят, что на T задана сложная функция аргумента t и обозначают этот факт так y=f(ф(t)).

При этом х называют промежуточным аргументом, а t – основным. Закон f(ф(t)) называют наложением (суперпозицией) функций.

Пример 3.1. y=Sin ln(1-x²). Имеем функцию y=Sinz с промежуточным аргументом z=lnu, функцию z=lnu с промежуточным аргументом u=1-x² и функцию u=1-x² с основным аргументом х. Или просто сложную функцию у от аргумента х.

Пусть х Х R задана у=f(х). Пусть мы смогли решить уравнение у=f(х) относительно переменной х. Т.е. получили запись х=ф(у). Т.к. оба равенства у=f(х) и х=ф(у) дают один и тот же график, но во втором случае аргументом будет переменная у, это неудобно (не принято так писать). Тогда можно в записи х=ф(у) поменять местами переменные х и у и получить привычную запись функции у=ф(х).

Опр. Две функции у=f(х) и у=ф(х) принято называть взаимно обратными функциями.

Отмечаем, что областью определения функции у=ф(х) будет область значений функции у=f(х). А областью значений функции у=ф(х) будет область определения функции у=f(х). Графики взаимно обратных функций симметричны относительно линии у=х (биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов декартовой системы координат).

К простейшим свойствам функций относят: монотонность, периодичность, четность и нечетность.

Опр. Приращением переменной называют разность двух ее значений. Приращений обозначают символом , за которым следует имя переменной. Например , х – приращение переменной х (или просто дельта х).

Опр. Если знаки приращения функции и аргумента в данной точке совпадают, то функция называется возрастающей в данной точке.

Аналогично дают определение убывающей в данной точке функции. Два этих понятия объединяют понятием монотонность.

Опр. Если f(x) определена на R и существует такое действительное Т 0, что f(x+Т)= f(x), то говорят, что f(x) периодическая с периодом Т

( Т- периодической).

Периодические функции обладают свойствами.

Если f(x) Т- периодична, то она и nT- периодична. Док. Имеем f(x+nT)= =f((x+(n-1)T)+T)= f(x+(n-1)T)= f((x+(n-2)T)+T)=…= f(x+T)= f(x).

Если f(x) Т- периодична, то функция ф(х)= f(аx) Т/a –периодична. Док. Имеем ф(х+ Т/a)=f(a(x+ Т/a))=f(ax+T)=f(ax)=ф(х).

Опр. Если f(-x) = - f(x), то функцию называют нечетной.

Опр. Если f(-x) = f(x), то функцию называют четной.

Внимание! При проверке свойства четности ответ следует давать только по четности. Это значит, что, если условие f(-x) = f(x) не выполняется, нельзя говорить ” Функция нечетная” , но следует говорить ”Функция не будет четной”, т.к. речь идет не о четных числах, а о свойстве четности. (Если проверяете пиджак, чистый ли он, то он может быть либо чистым либо грязным. И нет никакого дела , какого цвета пиджак).

При схематическом построении графиков функций следует использовать указанные свойства их . Помимо этого используют при схематическом построении (говорят о качественной картине без уточнения конкретных цифровых характеристик) наложение линейной функциональной зависимости на данную функцию. Это значит на основе базовой функции у= f(x) можно строить графики функций вида у=Аf(аx+b)+B. Выполним такое построение поэтапно, а затем запишем жесткий алгоритм построения графика функции у=Аf(аx+b)+B.

1.Пусть мы имеем базовый график (известный нам) у= f(x).

2.Для построения графика функции у= f(аx) достаточно график у=f(x) сжать вдоль оси Ох в направлении оси Оу в а раз при а>1 (растянуть график у=f(x) вдоль оси Ох от оси Оу в а раз при а <1). Если при этом а отрицательно, то следует деформируемый график еще и отразить в оси Оу.

3.Для построения графика функции у=Аf(x) достаточно график у=f(x) сжать вдоль оси Оу в направлении оси Ох в а раз при A<1 (растянуть график у=f(x) вдоль оси Оy от оси Оx в а раз при A>1). Если при этом A отрицательно, то следует деформируемый график еще и отразить в оси Оx.

4.Для построения графика функции у=f(x+м) достаточно сдвинуть базовый график у=f(x) на величину м вдоль оси Ох вправо, если м<0 и влево, если м>0.

5.Для построения графика функции у=f(x)+В достаточно сдвинуть базовый график у=f(x) на величину В вдоль оси Оу вниз, если В<0 и вверх, если В>0.

Общий алгоритм. Для построения графика функции у=Аf(аx+b)+B следует: переписать равенство в виде у=Аf(а(x+ ))+B; построить базовый график у= f(x); выполнить п.п.2 и 3 в любой последовательности; выполнить п.п.4 и 5 в любой последовательности.

Комментарий. При достаточном опыте построения графиков, последовательность можно изменить. Однако нужно помнить, что п.п. 2 и 3 не изменяют “точку опоры” (расположение начала системы координат) и потому последующий сдвиг легко и всегда правильно реализуется. Если же сначала произвести сдвиг кривой , то теряется возможность деформировать ее, т.к. становится неизвестным “куда сжимать”, хотя “вдоль чего” остается тем же. Неизвестной будет также ось отражения при необходимости.

Пример 3.2. Изобразите схематически (качественно) кривую

y= -3 .

Решение . Построим сначала базовую кривую y=x^1,5 . Это – парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точки (0;0) и (1;1) как и всякая типовая парабола. Для отрицательных х кривой нет и график расположен в 1-й четверти. Ветви параболы загнуты вверх т.к. 1,5>1. Рисунок базовой кривой представлен на Рис 3.1.

y=x^1,5

1 * (1;1)

1

Рис 3.1. Базовая кривая y=x^1,5

Теперь строим график функции y=-3 x^1,5. Растянув базовый график в 3 раза вдоль оси Оу от оси Ох и отразив его в оси Ох, получим кривую, представленную на Рис 3.2 –1. Масштаб возьмем несколько иной. Так как деформация и отражение завершены, можно выполнять сдвиг вдоль координатных осей : сдвинуть кривую на 1 вправо и опустить полученное на 2 вниз. Получим результативную (требуемую) кривую y= -3 .

Отметим, что на всех графиках нанесена точка , обозначенная символом * , но с разными координатами. Сделано это умышленно, чтобы можно было проследить за преобразованием графика по отдельно взятой точке, т.к. в противном случае при всех преобразованиях парабола остается параболой и качественная картина ее не меняется

1

-1

-----1 кривая y= -3x^1,5

-2

-3 * (1; -3)

2 ------

-5 * (2; -5)

Рис 3.2. Кривые: y=-3x^1,5 – 1; y= -3 2 .