Определение предела числовой последовательности и предела функции в точке. Основные теоремы о пределах.

Определение. Если каждому числу присвоен номер, то эти числа образуют

числовую последовательность.

Иначе говоря, числовая последовательность – это функция целочисленного аргумента. Обозначают числовую последовательность {x_n} или f(n) , где n натуральное число.

Ч.П. считается заданной, если известен закон соответствия между n и – x_n общим членом последовательности.

Пример 3.5. x_n = . Тогда последовательность имеет вид {0, , , …}.

В качестве геометрической интерпретации Ч.П. служит набор точек на числовой оси.

Опр. Ч.П. называется ограниченной, если М > 0 такое, что для n имеет место неравенство x_n < М.

Из этого определения возможен вывод : при своем изменении имеется возможность, что x_n приближается к некоторой константе.

Опр. Число а называютпределом числовой последовательности {x_n}, если для e > 0 (cколь угодно малое) , для которого всегда найдется такое N, что как только n>N, то будет выполняться неравенство <e .

Такую ситуацию символически принято обозначать (записывать) так =а.

Комментарий. Иногда эту ситуацию записывают так: x_n а, при х .

Теорема. Если {x_n} имеет предел, то этот предел единственный.

Док. Допустим противное – имеется два числа a и b такие, что при х выполняется =а и =b. В этом случае по определению предела по e > 0 можно указать такое N₁, что как только n>N₁, то будет верно < . С другой стороны можно указать такое N₂, что как только n>N₂, то будет верно < . Выберем N=max{ N₁, N₂}. Тогда = + < + = e . Но это противоречит начальному предположению о том, что a и b разные числа, т.к. разность двух не равных постоянных не может быть сколь угодно малым числом. Такое противоречие говорит о том, что первоначальное предположение о не равных a и b не соответствует действительности. Т.е. a = b, что и требовалось доказать.

Если числовая последовательность значений аргумента х может иметь своим пределом некоторое число а, то имеет смысл поставить вопрос : а не приближаются ли к некоторому числу значения f(x), когда значения аргумента приближаются к своему пределу а?

Опр. Число А называют пределом функции f(x) при х x_о (при x а), если для e > 0 (cколь угодно малое) можно указать такое > 0, такое, что как только будет выполняться неравенство < , то будет выполнять неравенство < e.

Обозначают это факт =А. Иногда говорят – это предел функции в точке а.

Комментарий. Отметим, что при своем стремлении х к а безразличен для нас способ этого стремления (с одной стороны или располагая значения по разные стороны от а).

Геометрически это означает, что как только х попадает в -окрестность точки а, так значение f(x) попадает в e -окрестность числа А . См. иллюстрацию этого случая на Рис 3.7.

А+e

А +

А-e

f(x)

а- ( + а )а+ х

Рис 3.7. К определению предела функции в точке

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Если e > 0 М > 0, что как только >M, то < e, то говорят о

пределе на бесконечности и записывают это символически так =А.

Если для М > 0 > 0 такое, что как только < , то >M, то говорят о бесконечном пределе и записывают это символически = .

f(x) в этом случае называют бесконечно большой величиной (ббв) в данных условиях.

Комментарий. В обоих последних случаях говорят «предел существует», хотя фактически числа А не получают, так же как не существует число а.

Знак бесконечности не играет никакой роли для понятия бесконечно большой величины. Это несколько непривычно (в школе говорили «чем левее х на оси Ох, тем меньше значение х». Теперь же получается, что - (это что-то, расположенное далеко слева от нуля) - это бесконечно большая величина! )

Если в определении пределов дополнительно потребовать, чтобы значения аргумента располагались по одну сторону от точки а, то говорят об односторонних пределах. Этот факт (здесь две ситуации) записывают так и говорят о правостороннем пределе; или так и говорят о левостороннем пределе.

Если =0 (в качестве а может быть и ) , то говорят, что f(x) в таких условиях бесконечно малая величина (бмв) в данных условиях.

(Продумайте полученную ситуацию и сравните ее с предыдущим комментарием, который касается бесконечно большой величины).

Отметим, что одна и та же функция в разных ситуациях может быть бмв или ббв. Например, f(x)= при х 0 будет бмв, а при х 2 будет ббв.

Сформулируем несколько теорем о свойствах бмв, ббв и связи между ними.

Теорема. Сумма двух бмв есть бвм при х х_о.

Док. Пусть a 0, b 0, т.е. они - бмв при х х_о. Тогда при e > 0 имеем

и как только . Это означает, что как только

, то , что и требовалось доказать.

Теорема. Произведение бмв на ограниченную величину есть бмв.

Док. Пусть a 0 , т.е. - бмв при х х_о.Пусть т.е. u(x) ограниченная величина. Тогда при e > 0 имеем как только . Это означает, что как только , то , что и требовалось доказать.

Теорема. Величина, обратная бмв, есть ббв. Это очевидно, т.к. знаменатель дроби уменьшается, а числитель постоянен. Дробь растет.

Теорема (о связи предела с бмв). Если f(x) A при х х_о, то f(x)=A+a.

Док. Т.к. =А, то как только , то . Откуда

f(x)-A=a, т.к. знак бмв безразличен. Откуда и следует требуемое.

Теорема(обратная). Если f(x)=A+a при х х_о и a -бмв, то =А.

Док. Пусть f(x)=A+a при х х_о. Тогда как только , то , т.е .

Для дальнейшей работы следует уметь сравнивать бмв. Т.е. выяснять какая из бмв “быстрее убывает”. Несколько определений для сравнения бмв.

Если предел отношения двух бмв при некоторых условиях равен конечному числу, то говорят, что эти бмв имеют одинаковую степень малости.

В частности, если указанный предел равен 1, то эти бмв эквивалентны. Это означает, что при в условиях, при которых бмв сравнивали, одну из них можно заменить более удобной другой. Так, например, известно, что при малых х величину Sinx можно заменить в вычислениях величиной х. См. об этом ниже – 1-й замечательный предел.

Если предел отношения двух бмв при некоторых условиях равен 0, то говорят, что в числителе записана бмв более высокую степеньмалости.(соответственно, в знаменателе более низкую степень малости).

Сформулируем признаки существования предела – несколько теорем.

Теорема. Всякая монотонная и ограниченная в направлении своего изменения переменная величина имеет предел. /Фролов и Шостак, стр 178/

Доказательство основано на теорем Дедекинда.

Теорема. Если переменные U , V имеют равные пределы = = a и если в тех же условиях у величина ограниченная , то =а.

Cформулируем основные теоремы о пределах, позволяющие находить пределы в обход проверки выполнения определения предела.

Предел: суммы ; произведения константы на переменную ; произведения переменных ; частного переменных равен соответственно сумме пределов операндов; произведению константы на предел переменной; произведению пределов сомножителей; отношению пределов числителя и знаменателя при условии, что существуют конечные пределы переменных, участвующих в указанных операциях (пределы операндов). Без доказательства