![]() КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Определение предела числовой последовательности и предела функции в точке. Основные теоремы о пределах.Определение. Если каждому числу присвоен номер, то эти числа образуют числовую последовательность. Иначе говоря, числовая последовательность – это функция целочисленного аргумента. Обозначают числовую последовательность {xn} или f(n) , где n натуральное число. Ч.П. считается заданной, если известен закон соответствия между n и – xn общим членом последовательности. Пример 3.5. xn = В качестве геометрической интерпретации Ч.П. служит набор точек на числовой оси. Опр. Ч.П. называется ограниченной, если Из этого определения возможен вывод : при своем изменении имеется возможность, что xn приближается к некоторой константе. Опр. Число а называютпределом числовой последовательности {xn}, если для Такую ситуацию символически принято обозначать (записывать) так Комментарий. Иногда эту ситуацию записывают так: xn Теорема. Если {xn} имеет предел, то этот предел единственный. Док. Допустим противное – имеется два числа a и b такие, что при х Если числовая последовательность значений аргумента х может иметь своим пределом некоторое число а, то имеет смысл поставить вопрос : а не приближаются ли к некоторому числу значения f(x), когда значения аргумента приближаются к своему пределу а? Опр. Число А называют пределом функции f(x) при х Обозначают это факт Комментарий. Отметим, что при своем стремлении х к а безразличен для нас способ этого стремления (с одной стороны или располагая значения по разные стороны от а). Геометрически это означает, что как только х попадает в
f(x)
Рис 3.7. К определению предела функции в точке Рассмотрим некоторые частные случаи. Если пределе на бесконечности и записывают это символически так Если для f(x) в этом случае называют бесконечно большой величиной (ббв) в данных условиях. Комментарий. В обоих последних случаях говорят «предел существует», хотя фактически числа А не получают, так же как не существует число а. Знак бесконечности не играет никакой роли для понятия бесконечно большой величины. Это несколько непривычно (в школе говорили «чем левее х на оси Ох, тем меньше значение х». Теперь же получается, что - Если в определении пределов дополнительно потребовать, чтобы значения аргумента располагались по одну сторону от точки а, то говорят об односторонних пределах. Этот факт (здесь две ситуации) записывают так Если (Продумайте полученную ситуацию и сравните ее с предыдущим комментарием, который касается бесконечно большой величины). Отметим, что одна и та же функция в разных ситуациях может быть бмв или ббв. Например, f(x)= Сформулируем несколько теорем о свойствах бмв, ббв и связи между ними. Теорема. Сумма двух бмв есть бвм при х Док. Пусть a
Теорема. Произведение бмв на ограниченную величину есть бмв. Док. Пусть a Теорема. Величина, обратная бмв, есть ббв. Это очевидно, т.к. знаменатель дроби Теорема (о связи предела с бмв). Если f(x) Док. Т.к. f(x)-A=a, т.к. знак бмв безразличен. Откуда и следует требуемое. Теорема(обратная). Если f(x)=A+a при х Док. Пусть f(x)=A+a при х Для дальнейшей работы следует уметь сравнивать бмв. Т.е. выяснять какая из бмв “быстрее убывает”. Несколько определений для сравнения бмв. Если предел отношения двух бмв при некоторых условиях равен конечному числу, то говорят, что эти бмв имеют одинаковую степень малости. В частности, если указанный предел равен 1, то эти бмв эквивалентны. Это означает, что при в условиях, при которых бмв сравнивали, одну из них можно заменить более удобной другой. Так, например, известно, что при малых х величину Sinx можно заменить в вычислениях величиной х. См. об этом ниже – 1-й замечательный предел. Если предел отношения двух бмв при некоторых условиях равен 0, то говорят, что в числителе записана бмв более высокую степеньмалости.(соответственно, в знаменателе более низкую степень малости). Сформулируем признаки существования предела – несколько теорем. Теорема. Всякая монотонная и ограниченная в направлении своего изменения переменная величина имеет предел. /Фролов и Шостак, стр 178/ Доказательство основано на теорем Дедекинда. Теорема. Если переменные U , V имеют равные пределы Cформулируем основные теоремы о пределах, позволяющие находить пределы в обход проверки выполнения определения предела. Предел: суммы ; произведения константы на переменную ; произведения переменных ; частного переменных равен соответственно сумме пределов операндов; произведению константы на предел переменной; произведению пределов сомножителей; отношению пределов числителя и знаменателя при условии, что существуют конечные пределы переменных, участвующих в указанных операциях (пределы операндов). Без доказательства
|