Алгоритм вычисления пределов.

Обозначим символически все возможные случаи, которые встечаются при вычислении пределов так ; ; ; 0 ; 1 ; 0^о ; ^о . Все символы кроме первого обозначают в математике так называемую неопределенность. Это значит, что предельное значение установить затруднительно. Для развязки возникшей неприятности применяют специальные приемы, о которых речь ниже.

1-й шаг алгоритма всегда один и тот же. «Подставим» предельное значение аргумента под знак предела и определим тип предела.

2-й шаг. Зависит от полученного типа предела. И потому здесь несколько разных действий.

2.1.Если тип предела и В 0 , А , В , то тип предела и даст сам предел.

2.2. Если тип предела и В=0 , то рассматривают дробь, у которой знаменатель уменьшается, а числитель ограничен и потому дробь растет неограниченно. Мы получаем бесконечный предел (см. частные случаи пределов).

2.3.Если А=0 и В=0, то имеем предел типа - неопределенность. Здесь могут быть разные случаи.

2.3.1.Если под знаком предела есть синусы, косинусы, тангенсы или обратные им функции, то следует преобразовать выражение под знаком предела так, чтобы можно было применить 1-й замечательный предел. Он тоже имеет такой тип.

2.3.2.Если под знаком предела записано отношение полиномов, то их следует разложить на множители, используя значение корней. Затем до перехода к пределу сократить на множитель, вносящий неопределенность. И далее вернуться к п.1. алгоритма.

2.3.3.Если под знаком предела имеется иррациональность, то перенести ее из числителя в знаменатель (и-или наоборот). Затем обработать полученное по п.2.3.2. и вернуться к п.1.

2.4.Если тип предела , то преобразуют дробь, используя связь бмв и ббв(см. частные случаи пределов), и переходят к п.2.3 .

2.5.Если тип предела 0 , то преобразуют произведение в дробь, используя связь бмв и ббв, и переходят к пунктам 2.3 или 2.4. соответственно.

2.6.Если тип предела - , то поступают в зависимости от выражений, дающих ббв.

2.6.1.Если эти выражения – рациональные дроби, то иногда достаточно привести их к общему знаменателю и перейти к п.2.3.

2.6.2. Если эти выражения – разность иррациональностей, то следует перенести ее из числителя в знаменатель и вернуться после упрощения к п.1.

2.7. Пределы типа 1 обрабатывают в направлении применения 2-го замечательного предела (сначала выписывают нужную в работе 1; затем оставшиеся слагаемые в основании преобразуют; затем в показателе записывают величину, обратную преобразованному выражению и старый показатель; затем новый показатель умножают на величину так , чтобы сохранилось общее равенство; затем применяют замечательный предел и обрабатывают оставшийся показатель). См. примеры.

2.8. Пределы типа 0^о ; ^о обрабатывают по одной схеме на основании основного логарифмического тождества . Пусть мы имеем предел вида . Тогда выражение под знаком предела следует записать так

= и затем вычислять предел показателя полученного выражения. Во всех случаях там получаются пределы, рассмотренные ранее.

Пример 3.5. Вычислить пределы.

3.5.1. . Решение. Это тип предела - ; он содержит иррациональности и потому переносим иррациональность в знаменатель, умножив числитель и знаменатель но сопряженное числителю . Получаем = = . Получен предел типа , в которой знаменатель растет, а числитель неизменен. По п.2.2. ответом будет 0.

3.5.2. . Решение. Имеем тип предела 1 .Обрабатываем его в направлении 2-го замечательного. Получаем последовательно

= = = (сохранена 1 и сделано приведение к общему знаменателю. Предстоит упростить)

= = = (т.к. =е)

= = (т.к. = по схеме 2.3.2)

Примеры эквивалентных бмв.

При достаточно малых х (т.е. х близких к 0) эквивалентными будут:

Sinx и х ; tgx и x; arcSinx и x; arctgx и x; e^x и 1+x; ln(1+x) и x; и 0,5x;

и x. Эти сведения удобны в приближенных вычислениях и вычислении пределов.