Условия гидромеханического подобия.

Как мы уже отмечали на процессе теплоотдачи существенное влияние оказывает характер движения жидкости (газа). Поэтому, для достижения подобия в процессах теплоотдачи в первую очередь необходимо наличие подобия в процессах движения или иначе гидромеханического подобия.

Гидромеханическое подобие определяет собой условия, при которых в геометрически подобных системах осуществляются подобные движения.

Движение вязкой несжимаемой жидкости (как мы уже установили) описывается дифференциальным уравнением Навье – Стокса (дифференциальное уравнение). Воспользуемся этим уравнением для выяснения условий гидромеханического подобия и вывода основных критериальных чисел подобия.

Запишем уравнение Навье – Стокса для двух подобных процессов. Перемещение первого обозначим «’», а второго «”». Для упрощения рассмотрим его проекцию на ось х (можно любую другую):

(1)

(2)

Мы уже знаем, что для подобных процессов отношение сходственных величин постоянны и равны соответствующим константам подобия

; ; ; ; ; ; (*)

На основании этого мы можем выразить все переменные в уравнении для процесса «”» через переменные первого процесса и константы подобия. Сделаем это и подставим в уравнение процесса «”»

(3)

Мы видим, что после сделанных преобразований мы видим, что в уравнение (1) и (3) входят одни и те же переменные. Эти переменные должны определяться одинаково из обоих уравнений (только тогда они будут тождественны). Последнее возможно только в случае если мы сможем сократить в уравнении (3) комплексы (безразмерные) составленные из констант подобия. Для этого должны выполняться неравенства:

(4)

Данное равенство дает нам зависимость между константами гидромеханического подобия. Из него мы видим, что произвольно выбирать все консттанты нельзя.

Рассматривая эти комплексы попарно можно получить критериальные числа гидромеханического подобия.

Возьмем первые условия:

Получим первый индикатор подобия. Для того, чтобы из него получить критериальное число подобия подставляем значение константы подобия из уравнений (*)

Полученное H_o- называется число гомохромности, оно характеризует подобие процессов во времени, т.е. применяется для нестационарных процессов. Другими словами можно сказать, что в подобных нестационарных процессах движения жидкости число гомохромности H_o одинаково (согласно 1 – ой теореме подобия).

Для подобия стационарных процессов число гомохромности не рассматривается.

Рассмотрим вторую пару:

, по аналогии с выводом числа гомохромности подставим в полученный индикатор подобия значение констант из уравнения (*) и окончательно получим:

;

Полученное критериальное число подобия называется Fr – число Фруда, из полученного нами уравнения мы видим. Что число Фрудо является мерой отношения силы тяжести «g» к инерционной силе ω². Данное число подобия используется при изучении внутреннего движения жидкости. Это число характеризует подобие силовых полей.

Теперь рассмотрим третью пару:

подставляет в данный индикатор подобия значение констант подобия из уравнений (*) получим:

, или применяя правило замены одноименной величины заменим p на ∆p:

,

Eu – число Эйлера – является мерой отношения перепада статического давления (гидравлического сопротивления) к динамическому напору потока (скоростной напор). Это число используется при определении гидравлических сопротивлений в потоке.

Выведем еще одно важное критериальное число подобия, для чего используем пару:

, подставим значения констант подобия и получаем

;
если учесть, что µ/ρ=υ - кинематическая вязкость

Re – число Рейнольдца – оно выражает соотношение сил инерции и сил вязкостного внутреннего трения в потоке жидкости. Это число подобия характеризует подобие полей скоростей и режима движения.

Таким образом мы можем сказать, что:

В гидромеханических подобных системах в любых сходственных точках числа подобия H_o;Fr;Eu и Re имеют одинаковые значения. Это и есть условия гидромеханического подобия.

Из полученных нами чисел подобия, числа H_o;Fr;Re являются определяющими – критериальными, а число Эйлера определяемым:

Eu=f(H₀;Fr;Re)

Существует и ряд других чисел гидромеханического подобия: Gr - Грасгофа, Ar – Архимеда, Ga – Галилея. Мы с вами остановимся только на Gr. Почему?

Дело в том, что в случае свободного движения жидкости, (естественная конвекция) при рассмотрении силового подобия, вместо числа Фруда удобнее применять число Грасгофа. Это связано с тем, что причиной свободного движения является разность плотностей жидкости и в таком потоке практически невозможно измерить скорости жидкости

,

где β- температурный коэффициент объемного расширения.

; ; ; ; ;

Gr- число Грасгофа – выражает соотношение между подъёмной силой в жидкости и силами внутреннего трения. Используется при изучении естественной конвекции.