Основы теории подобия

Теория подобия это учение о подобии явлений.

Впервые с понятием подобия вы встречаетесь в геометрии, откуда эти термины и заимствованы.

Как известно геометрически подобные фигуры, например ∆ обладает тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны, т.е. , где с – коэффициент пропорциональности или контакта подобия.

Записанное нами условие является математическим выражения подобия. Оно справедливо для любых сходственных отрезков и фигур.

Зная условия подобия, можно решить ряд важных практических проблем (например из подобия ∆ определить высоту дерева не занимаясь измерением и т. д.)

Данное понятие подобия можно распространить на любые физические величины. Например можно говорить о подобии движения 2-х потоков жидкости (кинематического подобия), о подобии сил, вызывающих подобные между собой движения (динамического подобия),(игрушечный паровозик потащил вагон и настоящий), о подобии температур и тепловых потоков (тепловое подобия),(маленький и большой ДВС, большая и малая медная пластина)

Однако для того чтобы пользоваться этими понятиями необходимо установить условия подобия рассматриваемых физических процессов:

1. Понятия подобия в отношении физических явлений применимо только к явлениям одного и того же рода, которые качественно одинаковы и аналитически описываются одинаковыми уравнениями как по форме, так и по содержанию (остывание большой и малой медной пластины),(если аналитически описания 2-х явлений одинаково по форме – теплопроводность – диффузия, но различны по физическому содержанию, то можно говорить только об аналогии, но не как ни о подобии).

2. Обязательной предпосылкой физического подобия является геометрическое подобие. Это означает, что подобные явления всегда протекают только в геометрически подобных системах (остывание чайника и кастрюли или 2-х кастрюль - подобных).

3. При анализе подобных физических явлений сопоставлять между собой можно только однородные величины в сходственных точках пространства и сходственные моменты времени (т.е. величины имеющие один и тот же физический смысл и размерность), (температуру с температурой, скорость со скоростью).

4. Подобие двух физических процессов означает подобие всех физических величин, характеризующих рассматриваемый процесс. Например при теплоотдаче:

α=f(ω;t_c;t_ж;λ;ρ;C_p;α;β;µ;l­₁;l₂;…;F­)

подобия 2-х процессов теплоотдачи будет означать, что в сходственные моменты времени τ’=c_ττ”в сходственных точках пространства x'=c_xx”… любая величина характеризующая α в первом процессе пропорциональна одной с ней величине, характеризующей α во втором процессе:

; ; …

где c_t;c_ω;c_l… - называется константами подобия. Они не зависят ни от координат ни от времени.

каждая величина может иметь свою константу подобия, т .е.

c_t≠c_ω≠c_l

Однако, для сложных процессов, которые определяются многими физическими величинами, константы подобия этих величин находятся между собой в определенных отношениях и их нельзя выбрать произвольно.

5. Условия подобия 2-х физических процессов является наличие

соотношения между константами подобия физических величин, описывающих этот процесс. Константы подобия связаны между собой законом данного процесса.

Пусть мы имеем 2 подобных процесса движения жидкости, которые по 2-ому закону Ньютона характеризуют уравнение

Запишем это уравнение для соответствующих подобных процессов :

(а) – 1-ый процесс

(б) – 2- ой процесс

Так как мы рассматриваем подобные процессы однородные величины в них подобны и связаны в соответствии с условиями подобия через константы подобия. Выразим переменные второго процесса через переменные первого и const подобия:

p”=c_pp’;m”=c_mm’;ω”=c_ωω’;τ”=c_ττ’ (*)

полученные равенства подставим в уравнение (б)

…. (в)

Полученное уравнение (в) выражено через переменные первого процесса и будет тождественно уравнению (а), если в нем сокращаются множители составленные из констант подобия. Для того чтобы это было возможно долно выполняться равенство

или (г)

Это и есть то искомое условие подобия, которым ограничивается произвольный выбор констант подобия. В данном случае произвольно мы можем выбрать 3 любые константы подобия, а 4-ую будем обязаны определить по ним.

Это условие можно представить в более удобном виде, если уравнение (г) подставить вместо констант подобия их значения из соотношений (*)

т.е. для подобных процессов движения данный комплекс должен быть одинаковым.

Такие комплексы величин носят название критериев подобия или чисел подобия. Они всегда безразмерны

Критерием подобия называются безразмерными комплексами составленные из величин, характеризующих процесс. Нулевая размерность является основным свойством критерия подобия и служит проверкой правильности их составления. В подобных процессах критерии подобия равны. Полученный нами с вами критерий подобия. носит название критерий Ньютона и характеризует механическое подобие процессов движения. Чем выше Ne тем интенсивнее движение.

Критерии подобия можно получить для любого физического явления. Для этого необходимо только иметь аналитическую зависимость между переменными, характеризующими процесс.

Описание процесса в виде аналитической зависимости, хотя бы в виде неинтегрируемых дифференциальных уравнений является необходимой предпосылкой применения теории подобия. При этом критерии подобия, полученные из дифференциальных уравнений и уравнений полученных в результате их интегрирования являются одними и теми же. Это положение лежит в основе практического применения теории подобия.

Основные положения теории подобия обычно формируются в теории 3-х теорем.

Первая Теорема подобия устанавливает порядок получения критериев подобия, как безразмерных комплексов и связь между ними. В общей форме она формируется как:

Подобные между собой процессы имеют одинаковые критерии подобия (числа подобия)

Вторая Теорема подобия –об уравнениях подобия. Она устанавливает возможность предоставления результата интегрирования дифференциальных уравнений как функции от критериев подобия этого уравнения .

Она гласит, что любая зависимость между величинами характеризующими процесс может быть представлена в виде зависимости между критериями подобия этого процесса.

k₁;k₂…k_n f(k₁;k₂…k_n)=0

Это возможно потому, что числа подобия полученные из дифференциальных уравнений и их решений одни и те же. Т.е. решение дифференциальных уравнений можно представить как функцию чисел подобия, получаемых из самих дифференциальных уравнений.

Зависимость такого рода называется обобщенным или критериальным уравнением подобия. Эти уравнения обладают рядом важных свойств:

- Они тождественны дифференциальным уравнениям данного процесса и поэтому решение дифференциального уравнения можно заменить решением уравнения подобия. Решение последних, как правило находиться по опытным данным.

- Уравнения подобия одинаковы для всех подобных процессов, т.е. являются обобщенными.

- Уравнения подобия полученные по опытным данным являются чисто империческими, применять их можно только для подобных процессов в пределах изменения аргумента, которые наблюдались в опыте. На пределы изменения аргумента, в которых опыт не проводился, уравнение подобия не распространяются.

Третья Теорема подобия – даёт ответ на вопрос об условии подобия физических процессов, т.е. на вопрос: Какие процессы можно считать подобными?

Она формируется как: Подобны те процессы, условия однозначности которых подобны и критерии составленные из условий однозначности, численно одинаковы.

На основании этой теоремы оказывается необходимым выделить критерии, составленные из величин входящих в условие однозначности.

Критерием подобия в которые входят условия однозначности называются определяющими.

Таким образом теория подобия позволяет не интегрируя дифференциальных уравнений получить из них числа подобия и используя опытные данные составлять уравнения подобия, которые тождественны дифференциальным уравнениям и могут быть использованы для расчета всех процессов подобных изучаемому.

Теперь мы с вами, вооружены основами теории подобия и с её помощью давайте рассмотрим основные критерии подобия необходимые для решения дифференциальных уравнений теплоотдачи.