Дифференциальное уравнение энергии.

Это уравнение является математическим выражением закона сохранения энергии в процессе теплоотдачи и устанавливает зависимость

t=f(x,y,z,τ)

т. е. позволяет определить температурное поле в движущейся жидкости.

Для вывода уравнения энергии выделим из движущегося объема жидкости элементарный объем

dV=dxdydz

Из окружающей среды путем теплопроводности в элементарный объем в dV за время dτ согласно дифференциального уравнения теплопроводности (19) поступит теплота

(80)

Аналогично тому как мы с вами выводили дифференциальное уравнение теплопроводности поступившая в элементарный параллепипед теплота пойдет на изменение его энтальпии dQ=dI (среда движется)

Изменение энтальпии, рассматриваемого параллепипеда за время dτ определиться как:

(81)

Однако в предыдущем случае мы имели дело с твердым телом. В жидкости, в отличие от твердого тела, объём за время переместиться в пространстве по некоторой траектории со скоростью . Поэтому координаты рассматриваемого объёма будут изменяться во времени:

x=f(τ); y=f(τ); z=f(τ) и следовательно изменение t элемента dV за время dτ будет характеризоваться полной производной:

(82)

изменение координат по времени есть ничто иное как проекции скорости на оси координат

таким образом уравнение (82) примет вид:

(83)

Отметим, что полную производную субстанциональной (индивидуальной) производной. Частную производную называют местным или локальным изменением температуры, а - конвективным изменением температуры.

Приравнивая значения dQ=dI получим искомое дифференциальное уравнение энергии, описывающее температурное поле в движущейся жидкости.

(84)

Данное уравнение (84) называется законом энергии, т. к. оно выражает закон сохранения энергии.

В том случае, когда ω_x=0; ω_y=0; ω_z=0 то конвективная составляющая в уравнении (84) исчезает и уравнение принимает вид дифференциального уравнения теплопроводности для твердых тел.

Для одномерного случая уравнение принимает вид:

(85),

а для одномерного стационарного случая имеем

(86)

В уравнении (84) наряду с t входят проекции переменной скорости ϖ. Это показывает, что температурное поле в потоке жидкости существенно зависит от поля скоростей. В связи с этим необходимо при изучении конвективного теплообмена включить в круг исследуемых вопросов и гидростатические условия протекания процесса.

Наличие температурного поля в свою очередь изменяет плотность среды в следствии чего жидкость приходит в движение. Видим, что помимо влияния поля скоростей на температурное поле наблюдается и обратное влияние.

Поэтому необходимо добавить к уже имеющимся дифференциальным уравнением теплообмена и энергии уравнение движения жидкости.