Дифференциальное уравнение движения жидкости.

Дифференциальное уравнение движения является выражением закона сохранения импульса и устанавливает зависимость скорости движения жидкости от пространственных координат и времени.

Для вывода этого уравнения используем основной закон механики (второй закон Ньютона): равнодействующие всех сил, действующих на тело равна произведению массы на ускорение.

(86)

где - векторная сумма всех сил действующих на тело.

- полное произведение по скорости (по сути ускорения)

ρd- ничто иное как масса

Теперь, опираясь на основной закон механики выделим уравнение движения жидкости. Выделим в общем объёме жидкости элемент параллелепипед со сторонами dx;dy;dz=dV

На рассматриваемый параллелепипед в общем случае действуют 3 силы:

- сила тяжести

- сила давления

- сила вязкого трения с соседними параллелепипедами

Давление для начала пренебрегаем силами вязкого трения и получим уравнение движения невязкой жидкости в проекции на ось x (например газ – его вязкость мала)

(87)

Рассмотрим проекцию всех сил на ось x, в этом случае уравнение основного закона механики примет вид:

(86 а)

Ось x мы с вами направим вниз, поэтому проекция силы тяжести на неё будет: ρgdV (где g- ускорение свободного падения, ρdV - масса параллелепипеда)

Если в данной точке пространства имеем давление p, то сила, действующая на верхнюю грань нашего параллелепипеда будет pdydz, а сила действующая на противоположную грань будет .

Проекция на ось x равнодействующей силы давления будет:

Аналогично можно получить уравнение движения в проекциях на оси y и z. Однако заметьте, что в проекциях на них сила тяжести равна 0

(88)

(89)

Полученные нами уравнение (87), (88) и (89) является уравнение движения идеальной. т.е. невязкой жидкости и носят названиеуравнение Эйлера.

Для получения уравнения движения реальной, вязкой жидкости необходимо учесть силы внутреннего вязкого трения между слоями жидкости, движущейся с разными скоростями.

Согласно закона Ньютона, касательные напряжения “S”, возникают между перемещающимися с различной скоростью слоями жидкости пропорционально градиенту скорости:

(90)

где µ- динамическая вязкость (из справочника)

Рассмотрим плоский ламинарный поток жидкости, двигающийся в направлении оси x. При этом скорость ω_x меняется лишь в направлении оси y. В этом случае силы трения возникают только на боковых гранях.

Т.к. около левой грани скорость движения ω_x меньше, чем в самом элементе, сила трения будет равна “-Sdxdz” и направлена против движения и равна

Равнодействующая этих сил будет:

(91)

Подставим эти значения в уравнение (90):

(91)

(еще раз дифференцируем (90) по dy)

Уравнение (91) справедливо для одномерного случая. Если скорость изменяется в направлении всех осей, то равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к рассматриваемому параллелепипеду dV определяется как:

Если движущаяся среда имеет const вязкость, то окончательно выражение примет вид:

Уравнение движения вязкой жидкости (уравнение Навье - Стокса) можно получить, если к правым частям уравнений Эйлера (88), (89) и (87) прибавить силу вязкостного трения

(91)

(92)

(93)

Все члены этого уравнения имеют размерность :

ρg- сила трения

∂p/∂x- сила давления

- сила сопротивления

- сила инерции

В развернутом виде дифференциальное уравнение движения (Навье - Стокса) в проекции на ось х имеет вид:

(91а)

Для проекций на оси y и z вы это уравнение развернете сами.