Выявление грубых погрешностей

Среди результатов наблюдений в выборке значений измеряемой величины могут оказаться такие, которые сильно отличаются от ос­тальных: это либо промахи, либо результаты, содержащие грубые по­грешности.

Промахи (описки и т. п.) устраняют из таблицы наблюдений, не прибегая к каким-либо процедурам проверки, руководствуясь лишь здравым смыслом. Для выявления результатов, содержащих грубые погрешно­сти, существуют различные статистические методы (критерии), в ос­нове которых, как правило, лежит предположение о том, что резуль­таты наблюдений принадлежат генеральной совокупности, элементы которой распределены по нормальному закону.

1. Рассмотрим сначала критерий, позволяющий по относительному расстоянию между крайним и ближайшим к нему соседним элементом упорядоченной выборки (x₁ = x_min£ x₂ £ … £ x_N = x_max) заключить, содержит ли крайний элемент выборки гру­бую погрешность или нет. Критерий основывается на анализе отношения , где величина R = x_max – x_min – размах выборки. Если u_i > u_{P, N} при i = 1 или i = N – 1, где u_{P, N} – коэф­фициент, зависящий от доверительной вероятности Р и числа наблю­дений N в выборке (см. приложение), то x_minили x_max представ­ляет собой элемент выборки, содержащий грубую погрешность, и дол­жен быть удален из таблицы результатов наблюдений.

Если x_N = x_max или x₁ = x_min не содержит грубой погрешности, то проверку на наличие в выборке элементов, содержащих грубую по­грешность, прекращают. В противном случае проверку повторяют, сопоставляя элемент x_N–1 с x_N–2 и, если нужно, x₂ с x₃, и т. д.

В некоторых случаях выборка распадается на две или более отдельно отстоящие друг от друга подвыборки, т. е. не является связной. Такая ситуация может возникнуть, когда в процессе эксперимента скачкообразно изменились его условия, была сбита настройка аппаратуры, были выключены и повторно включены некоторые приборы и т. п. Критерий сопоставления соседних элементов упорядоченной выборки друг с другом можно использовать для проверки выборки на связность, проверяя условия u_i > u_{P, N} при i = 2, …, N – 2. Если выборка не является связной, эксперимент нужно повторить.

2. Другой критерий основывается на анализе отклонения наиболее отстоящего результата наблюдения x₁ от среднего значения . Так, если v = |x₁ – |/S_x > v_{P, N} , где S_x – СКО результата измерения; v_{P, N} – коэффициенты, приведенные в приложении, то считается, что x₁ содержит грубую погрешность и его необходимо исключить из выборки.

2.8. Систематическая погрешность. Класс точности прибора.
Расчет границы полосы погрешностей

До сих пор в рассмотрении предполагалось, что результаты наблюдений не со­держат систематических погрешностей. Тем не менее, этот вид пог­решностей всегда присутствует в эксперименте.

Инструментальными (приборными, аппаратурными) погрешностями средств измерений называют такие, которые принадлежат данному средству измерений (СИ), определены при его испытаниях и занесены в его паспорт.

Теоретически погрешность СИ есть разница между значением ве­личины, полученным при помощи этого средства, и истинным значе­нием. Вместо неизвестного истинного значения на практике обычно используется действительное значение, полученное при помощи более точного СИ. По уровню точности СИ делят на рабочие (серийные), образцовые и эталонные. Для рабочего СИ более точным является образцовое, а для образцового – эталонное.

Инструментальные погрешности делят на основные и дополни­тельные. Основная погрешность – это погрешность СИ в нормальных условиях его применения, а дополнительная – в условиях, отличных от нормальных. Нормальные условия (температура, влажность, часто­та и напряжение питающей сети, положение прибора и др.) оговари­ваются в паспорте СИ и в инструкции по эксплуатации. Обычно нор­мальными считаются: температура (293 ± 5) К; атмосферное давление (100 ± 4) кПа; влажность (65 ± 15) %; напряжение сети питания 220 В ± 10 %.

Приборная погрешность зависит от условий и длительности эксплуатации СИ, и её значение в каждом данном измерении неизвестно, поэтому на практике обычно указывают интервал (–θ_x, θ_x) возможных значений погрешности прибора или полосу погрешностей, которую оп­ределяют экспериментально не для данного прибора, а для партии приборов данной серии. Границу θ_x полосы погрешностей прибора на­зывают нормированным значением приборной погрешности или пределом допускаемой погрешности данного СИ.

Измерительные приборы делят по точности на классы. Точность СИ – характеристика, отражающая близость его погрешности к нулю. Чем меньше погрешность, тем точнее СИ.

Класс точности – характеристика СИ, выраженная пределами его основной и дополнительной погрешностей, а также другими характе­ристиками, влияющими на точность. Класс точности указывается на шкале прибора. Его обозначение зависит от способа нормирования основной допускаемой погрешности прибора и обозначается числом из следующего ряда: 1·10ⁿ; 1.5·10ⁿ; 2·10ⁿ; 2.5·10ⁿ; 4·10ⁿ; 5·10ⁿ, где n = 0, ±1, ±2, …. Обозначение имеет вид либо числа, заключенного в кружок, либо просто числа, либо двух чисел, разделенных косой чертой. Ос­тановимся на этих случаях.

1. Класс точности, указанный в виде числа, заключенного в кружок , обозначает максимальную относительную погрешность резуль­тата измерения, выраженную в процентах (δθ_x = γ). Абсолютная погрешность в этом случае θ_x = γx/100, где x – отсчет физической величины по шкале прибора.

2. Если класс точности γ указан просто числом, то он равен максимальной погрешности прибора (границе погрешности), выражен­ной в процентах от максимального показания К шкалы прибора, по которой производится отсчет. В этом случае θ_x = γК/100, δθ_x = θ_x/x = γК/x.

Если нулевая отметка находится на краю шкалы или выходит за её пределы, то нормирующее значение К принимается равным верхнему пределу диапазона измерений. Так, если амперметр имеет шкалу от 0 до 60 А или от 30 до 60 А, то К = 60 А. Если прибор имеет нулевую отметку не в начале, а в другой точке шкалы, то K равно полной протяженности шкалы, т. е. сумме модулей отрицательного и положительного пределов измерений. На­пример, для амперметра со шкалой от –30 до +60 А, К = 60 + = 90 А.

3. Класс точности может быть задан в виде γ_н/γ_к, где γ_н и γ_к – приведенные погрешности прибора в начале и в конце шкалы, выраженные в процентах. В этом случае

δθ_x = γ_н + γ_к (К/x – 1) , θ_x = δθ_x x/100,

где К – предел измерений; x – отсчет по шкале прибора.

4. Если класс точности аналогового (стрелочного) прибора не указан, то его максимальная погрешность θ_x принимается равной половине цены деления шкалы прибора. Обычно цена наименьшего деления такого прибора согласована с погрешностью самого прибора. Поэтому попытка считывания со шкалы долей минимального деления нецелесообразна и не приводит к уменьшению приборной погрешности.

5. Для цифрового измерительного прибора при неизвестном классе точности или паспортной формуле для расчета погрешности за оценку максимальной погрешности θ_x принимают единицу наименьшего разряда цифрового индикатора при однократном отсчете или единицу последнего стабильно горящего (немигающего) разряда при непрерывно проводимых измерениях.

2.9. Сложение случайной и систематической погрешностей.
Полная погрешность измерения

Пусть результаты наблюдений наряду со случайной содержат и систематическую приборную погрешность q, которую можно считать по­стоянной в течение времени проведения измерения, так как характе­ристики прибора за это время не успевают заметно измениться. Наблюдаемые в опыте результаты наблюдений будут при этом равны x_i¢ = x_i + q. Наличие постоянной погрешности, вносимой прибором в результаты наблюдений, приводит к смещению выборочного среднего

,

однако совершенно не влияет на случайную погрешность результата измерения , или Dx = b_{P, N} R, так как разности, на основе которых рассчитываются СКО : , а также размах выборки не зависят от .

Смещение среднего значения и доверительного интервала может привести к тому, что истинное значение x₀ из­меряемой величины окажется за пределами найденного доверительного интервала , как это показано на рис. 2.4. Чтобы этого не произошло, необходимо расширить доверительный интервал на величину верхней границы возможных значений погрешностей прибора . В этом случае и результат измерения можно записать в виде , где назовём полной погрешностью результата измерения. Новый доверительный интервал обязательно накроет истинное значение x₀, так как q_x ³ |q| (рис. 2.4). Отметим, что доверительная вероятность, соответствующая найденному таким образом доверительному интервалу, будет превышать доверительную вероятность, используемую для нахождения случайной составляющей погрешности измерения.

Указанный способ суммирования погрешностей дает максимальную верхнюю границу полной погрешности результата измерения. Однако маловероятно, что в данном эксперименте полная погрешность примет своё максимальное значение. Учитывая, что, как правило, на практике приборная погрешность как отдельного прибора (погрешности квантования и шкалы прибора), так и в серии приборов изменяется нерегулярным образом, оставаясь в границах ±q_x, полная погрешность результата измерения с учетом неизвестности величины и знака q_x лежит в пределах .

Сопоставляя приведенное выражение с неравенством треугольника , можно заключить, что в качестве разумной оценки полной погрешности результата измерения можно выбрать величину

. (2.16)

Строгое рассмотрение суммирования случайной и приборной погрешностей основано на построении совместной функции плотности распределения вероятности . Будем считать, что в интервале (–q_x, q_x) все возможные зна­чения приборной погрешности равновероятны, т. е. приборная погреш­ность распределена равномерно. Тогда совместная функция распределения представляет собой свертку нормального (или распределения Стьюдента для конечного числа наблюдений N) и равномерного законов распределения:

.

Проводя вывод аналогично разд. 2.5, можно построить доверительный интервал для совместной функции распределения случайной и приборной погрешностей. Полученное выражение для полной погрешности результата измерения хорошо (с точностью до 5 %) аппроксимируется формулой (2.16).

В ГОСТ 16263–76 для определения границы доверительного интервала предложена формула

(2.17)

где k зависит от доверитель­ной вероятности и числа наблюдений в выборке (для Р = 95 % 0.7 £ k £ 0.8). Выражение (2.17) приводит как к более громоздким расчетным соотношениям, так и к большим ошибкам при определении погрешностей (до 15 %). Учитывая это, рекомендуется оценивать границы доверительного интервала по формуле (2.16).

Итоговая запись результата измерения будет иметь вид

с вероятностью ,

где P₀ – вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения.