Метод переноса погрешностей

Метод переноса погрешностей применяется в том случае, когда измеренные прямо независимо друг от друга величины x, y, z, ..., являющиеся аргументами функции f, образуют выборки {x¢}, {у¢}, {z¢}, ... .

Отклонения результатов отдельных наблюдений x¢_i, y¢_i, z¢_i, … от соответствующих истинных значений x₀, у₀, z₀, ... включают в себя как случайные, так и систематические составляющие. Случайные Dx, Dy, Dz, ... и приборные q_(x), q_(y), q_(z), ... погрешнос­ти аргументов, определенные для одной и той же доверительной вероятности P₀, могут быть объединены в полные погрешности , , на основе выражения (2.16). Полная погрешность величины f также состоит из двух компонент – случайной и систематической: . Составляющая Df определяется случайными погрешностями аргументов, а q _f – систематическими при­борными.

Пусть в опыте получены выборки значений величин x, y, z, ... одинакового объема N. Тогда i-е значение функции f_i¢ = f(x¢_i, y¢_i, z¢_i), вычисленное при смещенных значениях ее аргументов x¢_i = x_i + q_(x), y¢_i = y_i + q_(y), …, можно представить в виде , где , … – смещенные средние значения аргументов; – случайные отклонения аргументов от их средних значений, не зависящие от приборных погрешностей q_(x), q_(y), q_(z).

Воспользуемся выражением для полного дифференциала функции нескольких аргументов

.

Здесь частные производные функции , … могут быть найдены путем дифференцирования функции по выбранному аргументу при условии, что остальные независимые аргументы считаются постоянными. Приближенно заменяя бесконечно малые приращения (дифференциалы) функции и ее аргументов малыми конечными приращениями, получим

. (3.1)

Тогда i-е значение величины f_i¢ в окрестности точки можно записать в виде

, (3.2)

где – среднее значение функции, вычисленное при смещенных значениях ее аргументов при условии, что , , не меняются в процессе измерения, – ее случайное приращение, , , …– частные производные функции, вычисленные в точке .

Рассмотрим вычисление случайной погрешности косвенно определяемой величины f. Для этого вычислим дисперсию ее среднего значения. С учетом (3.2) получим

,

или

.

Если аргументы функции случайны и независимы, то их отклонения от средних значений , , … также независимы. Учитывая, что среднее значение произведения независимых случайных величин равно произведению средних значений сомножителей, получаем, что суммы вида равны нулю. Тогда

, (3.3)

где – дисперсии средних значений аргументов функции. Умножив обе части (3.3) на квадрат коэффициента Стьюдента , где N – объем выборок, по которым рассчитываются и , получим для случайной погрешности функции

, (3.4)

где , , – частные случайные погрешности функции.

Смещенное среднее значение функции в (3.2), используя выражение (3.1), можно выразить через ее истинное среднее значение

, (3.5)

где – истинное среднее значение функции; – приборная погрешность функции. Из (3.5) следует, что истинное среднее значение косвенно измеряемой величины будет равно , где ни величина, ни знак постоянных приборных погрешностей q_(x), q_(y), q_(z) аргументов, а значит и , неизвестны. Приборные погрешности q_(x), q_(y), q_(z) представляют собой независимые случайные величины. Поэтому, как и в случае нахождения случайной погрешности, для приборной составляющей погрешности получим

,

где – частные приборные погрешности косвенно измеряемой величины, откуда для верхней границы приборной погрешности величины f получим , где , , представляют собой верхние границы частных приборных погрешностей косвенно измеряемой величины, а q_x ³ |q_(x)|, q_y ³ |q_(y)|, q_z ³ |q_(z)| – верхние границы аргументов функции. Коэффициенты имеют смысл весовых множителей, показывающих, с каким весом случайные или приборные погрешности аргументов функции входят, соответственно, в случайную и приборную погрешности функции. Производя суммирование случайной и систематической приборной погрешностей согласно (2.16) получим:

,

откуда полная погрешность величины f будет определяться как

, (3.6)

где – полные погрешности аргументов.

Результат косвенного измерения с учетом погрешности следует записать в виде

с вероятностью , ,

где P₀ – вероятность определения случайной составляющей погрешности измерения; – относительная погрешность косвенно измеряемой величины f.

Числовые значения и округляются по тем же прави­лам, которые сформулированы для прямо измеряемых величин.

Замечание 1.Полученное выражение дляполной погрешностивеличины (3.6) остается справедливым также в случае различного объема выборок величин x, y, z, ..., являющихся аргументами функции f. При этом полные погрешности аргументов , , , входящие в , должны быть определены для одной и той же доверительной вероятности P₀.

Замечание 2. Если приборные погрешности аргументов функции не являются случайными и независимыми, например, приборная погрешность одного аргумента порождает приборную погрешность другого аргумента, то их необходимо складывать по модулю линейно . В этом случае случайная (3.3) и приборная погрешности функции складываются (объединяются) в полную погрешность функции линейно .

Однако такая ситуация встречается на практике довольно редко. Она, например, может возникнуть в случае влияния работы одного прибора на показания другого. В большинстве же случаев значения аргументов функции измеряются разными приборами, взаимозависимость распределения приборных погрешностей которых ниоткуда не следует. Поэтому верхние границы частных приборных погрешностей аргументов функции будем складывать квадратично.

Замечание 3. Если функция f удобна для логарифмирования, т. е. представляет собой произведение нескольких выражений, формулы для нахождения погрешности могут быть приведены к более удобному виду. Операция логарифмирования, превращает произведение выражений в сумму логарифмов этих выражений, а про­изводная суммы вычисляется значительно проще, чем производная произведения. Например,

ln (axⁿ/(y^mtg x)) = ln a + n ln x – m ln у –lntg x.

В таком случае, используя тождество и вводя новые весовые множители , получим

,

где в точке .