КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Случай линейной зависимости двух величин
Задача нахождения наилучшей аппроксимирующей кривой в общем случае является достаточно сложной и наиболее просто решается, если функциональная зависимость имеет вид прямой линии у = ax + b. Поэтому на практике, если это возможно, сложные функциональные зависимости сводят к линейным зависимостям. При этом задача нахождения регрессионной кривой сводится к решению следующих задач:
1. Линеаризация нелинейных зависимостей, которая осуществляется соответствующей заменой переменных. Примеры такой замены приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1
| № | Исходная функция | Замена переменных | Новая функция |
| 
| 
| |
|
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
|
| |
| 
|
| |
| 
|
| |
| 
|
|
В некоторых случаях различные замены переменных могут приводить одну и ту же функцию к линейному виду несколькими способами. Например, эта ситуация возможна для зависимости y = Ax n, соответствующие замены переменных приведены в строках 1 и 2 табл. 4.1.
2. Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в линейной зависимости у = ax + b или коэффициента a в зависимости у = ax согласно методу наименьших квадратов.
3. Нахождение случайных и приборных погрешностей этих коэффициентов.
4. Определение по найденным значениям коэффициентов a и b физических констант, содержащихся в этих коэффициентах. Последняя задача решается стандартным приемом метода переноса погрешностей при косвенных измерениях.
4.3. Нахождение коэффициентов в уравнении прямой у = ax + b
Нахождение наилучших значений коэффициентов a и b в зависимости у = ax + b производится согласно описанному методу наименьших квадратов. В случае линейной зависимости (4.4) приводит к системе из двух уравнений относительно двух неизвестных a и b:
(4.6)
Решение системы (4.6) дает нам выражения для наилучших оценок значений параметров. Обозначив эти оценки 
и 
, получим
(4.7)
где 
.
Последнее выражение для 
говорит о том, что линия регрессии проходит через точку с координатами ( 
, 
). Используя дополнительную точку с координатами ( 
, 0) можно по двум точкам построить искомую аппроксимирующую прямую.
Для нахождения дисперсий коэффициентов 
и воспользуемся соотношениями (4.7). С учетом формулы (2.14) дисперсии суммы случайных некоррелированных величин 
с одинаковой дисперсией, получим в предположении, что xi не содержат случайных погрешностей:
, 
, (4.8)
где остаточная дисперсия 
рассчитывается согласно (4.5) и может быть приведена к виду
.
Выражения для дисперсий (4.8) после подстановки остаточной дисперсии и значений , принимают вид
, 
. (4.9)
Тогда случайные погрешности коэффициентов будут иметь вид
, 
,
где 
, 
– СКО 
и 
соответственно; 
– коэффициент Стьюдента с ν = N – 2 степенями свободы. Приборные погрешности коэффициентов a и b могут быть найдены на основе (4.7) по формуле (3.10) косвенных измерений, что дает
, 
. (4.10)
Равенство нулю приборной погрешности в определении коэффициента наклона a прямой означает, что он не зависит от одновременного смещения всех координат xi или yi на величины θx или θy соответственно.
Если x и y являются косвенно измеряемыми величинами, полученными, например, при замене переменных в процессе линеаризации, приборные погрешности θx и θy необходимо вычислить согласно стандартным приемам обработки данных косвенных измерений. Определив полные погрешности 
и 
, уравнение регрессионной прямой можно записать в виде
, с вероятностью 
. (4.11)
4.4. Нахождение коэффициента в уравнении прямой у = ax
Если уравнение аппроксимирующей прямой имеет вид у = aх, то нахождение коэффициента a в уравнении наилучшей прямой сводится к нахождению минимума остаточной дисперсии (4.5), где количество искомых параметров К = 1. Тогда из (4.4)
, где 
. (4.12)
Из полученного выражения для коэффициента a находим его дисперсию
,
где остаточная дисперсия с учетом (4.5) может быть вычислена по формуле
.
Зная СКО , найдем случайную погрешность коэффициента 
: 
. Отметим, что, в отличие от случая построения прямой вида y = ax + b, в случае регрессионной зависимости вида y = ax одновременное смещение всех координат xi или yi вследствие приборной погрешности аргументов оказывает существенное влияние на угловой коэффициент, так как принадлежащая этой прямой точка (x, y) = (0,0) фиксирована. Используя формулу (4.12), найдем его приборную погрешность. Имеем
.
Определив полную погрешность 
коэффициента , получим уравнение регрессионной прямой в виде
, с вероятностью .
Прямая МНК 
строится по двум точкам с координатами (x, у) = = (0, 0) и (x0, 
), где x0 – произвольное значение аргумента х. Отметим, что коэффициент a = у / x можно рассматривать как функцию двух переменных у и х, и его значение может быть найдено методами обработки данных косвенных измерений.
4.5. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax + b
на примере определения параметров равноускоренного движения
Рассмотрим эксперимент по определению скорости тела v = at + v0при равноускоренном движении, по результатам которого надо найти ускорение тела а и его начальную скорость v0. Пусть приборные погрешности определения времени и скорости равны, соответственно, θt = 1 с и θv = 0.2м/с. Результаты обработки эксперимента согласно МНК сведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
| № | xi=ti | yi=vi | 
| 
| 
| 
| 
|
| 10.1 | –12.5 | 156.25 | –12.517 | 156.675 | 156.463 | ||
| 15.3 | –7.5 | 56.25 | –7.317 | 53.538 | 54.877 | ||
| 19.8 | –2.5 | 6.25 | –2.817 | 7.935 | 7.043 | ||
| 24.6 | 2.5 | 6.25 | 1.983 | 3.932 | 4.958 | ||
| 30.4 | 7.5 | 56.25 | 7.783 | 60.575 | 58.373 | ||
| 35.5 | 12.5 | 156.25 | 12.883 | 165.972 | 161.037 | ||
| ∑ |  = 75
| 
= 135.7
| 
= 0
| 
= 437.5
| 
= –0.002
| 
= 448.628
|  = 442.751
|
1. Средние значения x и у:
с , 
22.617 м/с2.
2. Средние значения и :
м/с2 , 
м/с.
3. Дисперсия и СКО :
3.229·10–4, 
м/с2.
4. Дисперсия и СКО :
0.028, 
м/с.
5. Случайные погрешности а и b.
Коэффициент Стьюдента для Р = 95 % и N – 1 = 5 равен tP, N–1 = 2.78,
0.04996м/с2, 
0.464м/с.
6. Приборная погрешность коэффициента b:
1.212 м/с,
где учтено, что θx = 1 с и θy = 0.2м/с.
7. Полные погрешности а и b:
0.04996м/с2 и = 1.676 м/с2.
8. Результат: 
.
9. Окончательный результат в округленной форме:
, с вероятностью 
.
4.6. Алгоритм обработки данных по МНК для уравнения y = ax
на примере определения ускорения свободного падения
Рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по совместным измерениям периода колебания математического маятника Т и его длины l, значения которых даются в табл. 4.3.
Таблица 4.3
| Параметр | № наблюдения | θ | ||||
| li , м | 0.5 | 0.6 | 0.7 | 0.8 | 0.9 | 5·10–4 |
| Тi, с | 1.415 | 1.563 | 1.670 | 1.791 | 1.910 | 10–4 |
Дальнейшая обработка данных осуществляется в следующей последовательности.
1. Линеаризуем зависимость 
, положив у = Т, 
, 
. В новых переменных она будет иметь вид у = aх .
2. Заполняем табл. 4.4 обработки данных по МНК для уравнения y = ax, представив исходные данные в новых переменных (xi, yi) = ( 
, Тi).
Таблица 4.4
| № | 
| yi = Ti | xi2 | yi2 | xiyi |
| 0.7071 0.7746 0.8367 0.8944 0.9487 | 1.415 1.563 1.670 1.791 1.910 | 0.500 0.600 0.700 0.800 0.900 | 2.0022 2.4430 2.7889 3.2077 3.6481 | 1.0005 1.2107 1.3973 1.6019 1.8120 | |
| ∑ | ∑ xi = 4.1615 | ∑ yi = 8.349 | ∑ xi2 = 3.500 | ∑ yi2 = 14.0899 | ∑ xi yi = 7.0224 |
3. Среднее значение a : 
.
4. Дисперсия и СКО :
, 
.
5. Случайная погрешность коэффициента a для Р = 95 % и N = 5, с учетом того, что коэффициент Стьюдента tP, N = 2.78, имеет вид
.
6. Приборная погрешность измеряемой прямым образом величины у = Т равна 
, априборная погрешность косвенно измеряемой величины имеет вид
.
Используя данные табл. 4.3, 4.4, получим
, 
.
Тогда приборная погрешность коэффициента a будет
.
7. Полная погрешность коэффициента a:
.
8. Результат измерения в округленной форме:
с вероятностью P = 95 %.
По коэффициенту может быть найдено ускорение свободного падения 
по стандартной схеме обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей.
9. Среднее значение:
= 9.8107 м/с2.
10. Случайная погрешность:
= 0.0088 м/с2.
11. Приборная погрешность:
= 0.0083 м/с2.
12. Полная погрешность:
= 0.0172 м/с2.
13. Окончательный результат в округленной форме:
м/с2, с Р = 95 %.
Контрольные вопросы
1. Какие измерения называются совместными?
2. Линеаризуйте следующие зависимости, перейдя от переменных (х, у) к новым переменным (X, У): у = а xn; у = a ln x + b; ln у = a sin x + b; tg y = a cos x + c; у = а еxp x + с; у = ax2 + bx + с.
3. Сформулируйте критерий наименьших квадратов.
4. Как строятся по двум точкам прямые МНК вида у = aх и y = аx + b?
5. Можно ли константу a в уравнении у = aх найти методами косвенных измерений? Ответ обосновать.
6. Выведите формулы для приборных погрешностей θa и θb (4.10) коэффициентов a и b в уравнении прямой у = ax + b.
7. Какой вид будут иметь формулы приборных погрешностей коэффициентов а и b, если x и у являются косвенно измеряемыми величинами: x = m sin u, у = n v3, где m и п – константы, а u и v – прямо измеряемые N раз величины?
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 518; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |