Выборочный метод

Выборочный метод расчета погрешностей применяется в тех слу­чаях, когда значения каждой из совместно измеренных величин x, y, z, ... не образуют выборок, но значения функции образуют выборку, т. е. величина f является некоторой физической константой. Штрих у аргументов означает, что они содержат неизвестные постоянные приборные погрешности: , , . Здесь учтено, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах, поскольку зависят от отсчетов не образующих выборок величин x, y, z, ... по шкалам приборов.

Статистическая обработка полученных значений производится так же, как и в анализе данных прямых измерений, которые позволяют найти ее смещенное среднее значение и СКО среднего значения (либо размах выборки ):

, , (3.7)

а затем вычислить ее случайную погрешность , или .

Для определения приборной погрешности θ_f представим i-е смещенное значение величины в окрестности точки , координаты которой не зависят от приборных погрешностей,

в виде суммы истинного значения этой величины и малого конечного приращения, определяемого выражением (3.1):

, (3.8)

где , , , .

Ввиду малости приборных погрешностей значения производных в точке можно считать совпадающими с их значениями в экспериментальной точке . Смещенное среднее значение косвенно определяемой величины с учетом (3.8) будет иметь вид

, (3.9)

где – приборная погрешность функции.

Согласно (3.9) несмещенное значение величины будет равно , где ввиду неизвестности величин и знаков приборных погрешностей , , приборная погрешность функции также неизвестна. Поэтому заменим приборную погрешность функции ее верхней границей . Тогда

, (3.10)

где θ_xi, θ_yi, θ_zi – верхние границы приборных погрешностей аргументов. Выражение для верхней границы приборной погрешности функции можно также записать в виде, удобном в ряде приложений: , где , , ; , , – наибольшие значения верхних границ приборных погрешностей аргументов в серии опытов.

Несмещенное среднее значение функции можно найти как . Тогда результат косвенного измерения с учетом его случайной погрешности можно записать в виде , где представляет собой полную погрешность функции.

При практических расчетах штрихи у аргументов функции и самой функции опускают.

Замечание 1.Выборочный метод допустимо использовать и в том случае, когда значения аргументов функции образуют выборки. Тем не менее, не рекомендуется применять выборочный метод при нахождении результата косвенного измерения в тех случаях, когда возможно применение метода переноса погрешностей, поскольку в выборочном методе случайная погрешность функции зависит от приборных погрешностей ее аргументов, что приводит к неоправданному дополнительному увеличению погрешности функции. Действительно, случайная погрешность функции в выборочном методе рассчитывается через разности вида

,

в которых ввиду большого диапазона изменения значений аргументов и .

Замечание 2. Если функция f удобна для логарифмирования, формулы для нахождения погрешности могут быть упрощены. Используя тождество и вводя новые весовые множители , , , получим

,

где и – приборная погрешность и значение косвенно определяемой величины, соответствующие данному набору совместно измеренных значений аргументов,

.

Замечание 3. В том случае, когда функция f есть физическая константа, значение которой определяется через наборы совместно измеренных значений аргументов функции выборочным методом, ее значение можно найти методом наименьших квадратов (МНК), который будет рассмотрен далее.

3.3. Алгоритм обработки данных косвенных измерений
методом переноса погрешностей

Данный метод используется в случае, когда каждая из величин x, y, z , представляющих собой аргументы функции, измеряется независимо от остальных в своей серии опытов, и эти величины образуют выборки (близки друг к другу). Число опытов в сериях, вообще говоря, не обязано быть одинаковым, требуется только неизменность условий для прямо измеряемой величины в своей серии, неизменность условий для f во всех сериях и взаимная независимость всех опытов.

1. По формулам прямых измерений определить величины , ; , ; , (с учётом приборных погрешностей).

2. Рассчитать значение функции = f ( , , ).

3. Вычислить частные производные от функции , , или, для легко логарифмируемой функции f, от ее логарифма в точке .

4. По формуле переноса погрешностей вычислить полную погрешность функции или по эквивалентной формуле для легко логарифмируемой функции: .

5. Записать результат измерения и округлить его.

6. Свести результаты обработки эксперимента в табл. 3.1.

Таблица 3.1
xi						qx=
yi						qy=
x↑i						= , Rx=x↑ N –x↑1=
xi+1 – xi					UP, N Rx =
Dxi = xi –						SDxi = 0
(Dxi)2						S(Dxi)2=

Окончание табл. 3.1

= , , ,
y↑i						= , Ry=y↑N –y↑1=
yi+1 – yi					UP, N Ry =
Dyi = yi –						SDyi =0
(Dyi)2						S(Dyi)2 =
= , , ,
= , =

В качестве примера обработки данных косвенных измерений методом переноса погрешностей рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по 5 измерениям периода колебания математи­ческого маятника и его длины l. Выражая g через период колебаний и длину, получим: . Результаты расчетов будут иметь вид табл. 3.2.

Таблица 3.2
li , м	0.782	0.810	0.795	0.801	0.787	ql = 5.10–4 м
Тi, с	1.776	1.798	1.789	1.794	1.780	qT = 10–4 c
l↑i	0.782	0.787	0.795	0.801	0.810	Rl = l↑ N – l↑1 = 0.028, = 0.795
li+1–li	0.005	0.008	0.006	0.009	UP, N Rl = = 0.64. 0.028 = 0.018
Dli = li –	–0.013	0.015		0.006	–0.008	SDli = 0
(Dli)2	169·10–6	225·10–6		36·10–6	64·10–6	S(Dli)2 = 494·10–6
= 0.00497, 0.013915 , 0.013925, 0.795 ± 0.014 м
T↑i	1.776	1.780	1.789	1.794	1.798	RT=T↑N –T↑1=0.022, =1.7874
Ti+1­–Ti	0.004	0.009	0.005	0.004	UP, N RT =0.0141

Окончание табл. 3.2

DTi= Ti –	–0.0114	0.0106	0.0016	0.0066	–0.0074	SDTi=0
(DTi)2	1.300·10–4	1.124·10–4	2.56·10–6	4.356·10–5	5.476·10–5	S(DTi)2=3.432·10–4
= 0.004142, 0.011516, 0.011517, 1.787 ± 0.012 c

= 9.82388.

Для определения погрешности используем метод полного дифференциала.

, ;

= 0.2136,

.

3.4. Алгоритм обработки данных косвенных измерений
выборочным методом

Выборочный метод применяется в том случае, если совместно измеренные значения аргументов функции x_i, y_i и z_i не образуют выборок, но можно создать выборку значений функции {f_i}.

1. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов рассчитать значения функции f_i = f(x_i, y_i, z_i).

2. Обработать полученную выборку {f_i} согласно алгоритму обработки данных прямых измерений, находя среднее значение и случайную погрешность функции.

3. Вывести выражения для частных производных от функции

или для легко логарифмируемой функции f – от ее логарифма

.

4. По каждому набору совместно измеренных значений аргументов и их приборных погрешностей рассчитать приборную погрешность функции

,

предполагается, что приборные погрешности измеряемых величин могут быть разными в разных опытах или, если f имеет удобный для логарифмирования вид, по эквивалентной формуле

,

где – соответствующее данному набору аргументов значение функции (не путать со строкой таблицы упорядоченных по возрастанию значений f↑_i).

5. Если приборные погрешности аргументов одинаковы во всех опытах или при нахождении максимальных по всей серии опытов значений приборных погрешностей , , , для определения приборной погрешности величины f можно использовать выражение

,

где , , .

6. Вычислить среднюю приборную погрешность функции .

7. Вычислить полную погрешность функции .

8. Записать результат измерения и округлить его.

9. Свести результаты обработки эксперимента в табл. 3.3.

Таблица 3.3
xi
qxi						qx = max qxi =
yi
qyi						qy = max qyi =
fi						=
f↑i						Rf = f↑N – f↑1 =
Ufi = fi+1 – fi					Ufi < UP, N Rf =
Dfi = fi –						SDfi = 0
(Dfi)2						S(Dfi)2 =
qfi						=

Окончание табл. 3.3

, , , ,

В качестве примера обработки данных косвенных измерений
выборочным методом рассмотрим эксперимент по определению ускорения свободного падения g по совместным измерениям периода колебания математи­ческого маятника и его длины l. Тогда . Результаты расчетов могут быть представлены в виде табл. 3.4.

Таблица 3.4

li , м	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	ql = max ql i = 5·10–4 м
Тi, с	1.415	1.563	1.670	1.791	1.910	qT = max qT i = 10–4 c
gi	9.859	9.696	9.909	9.846	9.739	= 9.8098
g↑i	9.696	9.739	9.846	9.859	9.909	Rg= g↑N – g↑1= 0.213
Ufi=gi+1–gi	0.043	0.107	0.013	0.05	Ugi <UP, N Rg= 0.136
Dgi= gi –	0.049	0.114	0.099	0.036	0.07	SDgi= 0
(Dgi)2	2.385× ×10–3	13.00× ×10–3	9.819 × ×10–3	1.309 × ×.10–3	4.945× ×10–2	S(Dgi)2 = 0.003141
qgi	11.0 × ×10–3	9.321 × ×10–3	8.264 × ×10–3	7.253 × ×10–3	6.43 × ×10–3	= 0.0085

Для определения приборной погрешности используем метод логарифмирования функции.

; ; ; 0.03963, 0.11016, 0.109, , 0.119, .

Контрольные вопросы

1. В каких случаях при обработке данных косвенных измерений применяют метод переноса погрешностей, а в каких – метод выборки?

2. Как определить по исходным данным, является ли набор значений выборкой случайной величины или последовательностью, искусственно задаваемой экспериментатором?

3. Как складываются друг с другом случайные и приборные погрешности аргументов функции, частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случайная погрешности функции в методе переноса погрешностей?

4. Как складываются друг с другом частные приборные погрешности аргументов функции, частные случайные погрешности, приборная и случайная погрешности функции в выборочном методе?

5. Сформулируйте алгоритм обработки данных методом переноса погрешностей.

6. Сформулируйте алгоритм обработки данных выборочным методом.