КАТЕГОРИИ:
АстрономияБиологияГеографияДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Взаимное расположение двух прямых
Рассмотрим две прямые плоскости, заданные уравнениями в общем виде:
Две прямые могут:
1) совпадать;
2) быть параллельными: 
;
3) пересекаться в единственной точке: 
.
Две прямые совпадают, тогда и только тогда, когда их соответствующие коэффициенты пропорциональны, то есть, существует такое число «лямбда», что выполняются равенства 
Пример. Рассмотрим прямые 
и составим три уравнения из соответствующих коэффициентов: 
. Из каждого уравнения следует, что 
, следовательно, данные прямые совпадают.
Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных
пропорциональны: 
, но 
.
Пример. Рассмотрим две прямые 
. Проверяем пропорциональность соответствующих коэффициентов при переменных :
Однако совершенно очевидно, что 
.
Две прямые пересекаются, тогда и только тогда, когда их коэффициенты при переменных НЕ пропорциональны, то есть НЕ существует такого значения «лямбда», чтобы выполнялись равенства
Пример. Для прямых 
составим систему:
Из первого уравнения следует, что 
, а из второго уравнения: 
, значит система несовместна (решений нет). Таким образом, коэффициенты при переменных не пропорциональны.
Пример
Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений 
найдём направляющие векторы прямых: 
.
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, значит, векторы 
не коллинеарны и прямые 
пересекаются.
б) Найдем направляющие векторы прямых 
:
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом 
.
Выясним, справедливо ли равенство 
:
Таким образом, 
в) Найдем направляющие векторы прямых 
:
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:
, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов 
.
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение 
удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Ответ: 
Дата добавления: 2015-08-05; просмотров: 198; Мы поможем в написании вашей работы!; Нарушение авторских прав |