Давление жидкости на плоские стенки. Зная закон распределения гидростатического давления в жид­кости, можно найти полную силу давления на ограничивающие жидкость поверхности — стенки и дно

Зная закон распределения гидростатического давления в жид­кости, можно найти полную силу давления на ограничивающие жидкость поверхности — стенки и дно сосуда. Эта задача сводится к определению силы давления (по величине и направлению) и

нахождению точки ее приложения. Рассмотрим сначала плоские поверх­ности — плоские стенки. Предположим, что имеется плос­кая стенка площадью F, наклоненная к горизонту под некоторым углом α (рис. 19). Разделим ее по высоте на ряд элементарных горизонтальных (весьма узких) полосок ΔF и определим давление на одну из таких полосок.

Гидростатическое давление в любой точке на оси полоски определяется формулой Р = Р₀ + ρgh

Рис. 19

Р — давление на свободной поверхности жидкости; h -глубина погружения рассматриваемой точки; ρ— плотность жидкости.

Так как ширина выделенной полоски мала, гидростатическое давление во всех ее точках можно считать одинаковым и равным давлению в точках на оси полоски. Поэтому давление ΔR на всю полоску получим умножением указанного гидростатического давления на величину ΔF

ΔR = PΔF = (Р₀ + ρgh)ΔF

Оно будет направлено нормально к стенке. А так как стенка состоит из ряда таких элементарных полосок, сила давления на всю стенку определяется как сумма сил давления на отдельные составляющие полоски R = ΣΔR = Σ(Р₀ + ρgh)ΔF = Р₀ΣΔF+ρgΣhΔF

Сумма ΣΔF =F, а сумма ΣhΔF может быть представлена в виде ΣhΔF = Σl^.sinα^.ΔF = sinα^.ΣlΔF =Fh_c

где l расстояние до любой полоски от поверхности жидкости, отсчитываемое в плоскости стенки.

Но сумма ΣlΔF есть статический момент площади Fотно­сительно линии пересечения поверхности жидкости с плоскостью стенки (эта линия носит наименование уреза жидкости) и рав­няется ΣlΔF = Fl_c

где l_c — расстояние в плоскости стенки до центра тяжести с этой площади. Следовательно, ΣhΔF = Fl_c ^. sinα

здесь h_c = l_c sinα — глубина погружения центра тяжести стенки. Таким образом, получаем

R=P_oF + ρgh_cF = (P_o + ρgh_c)F

Замечая, что величина, стоящая в скобках, представляет собой гидростатическое давление в центре тяжести стенки р_с, получаем окончательно R = P_cF [69]

Следовательно, давление жидкости на плоскую стенку равно произведению величины смоченной площади стенки на гидростати­ческое давление в ее центре тяжести.

В случае, когда давление на свободной поверхности жидкости в сосуде и на внешней поверхности стенки равно атмосферному, полное избыточное давление на стенку будет

R = ρgh_cF

Если стенка расположена горизонтально (угол α= 0), т. е. представляет собой не боковую стенку, а горизонтальное дно сосуда, суммарное давление определяется по тем же формулам и составляет R = PF = ρgHF [70]

где Н — глубина жидкости в сосуде.

Следовательно, давление на дно зависит не от формы и объема сосуда, а только от площади дна и глубины жидкости в сосуде.

Поэтому для сосудов разной формы, заполненных одной и той же жидкостью до одного и того же уровня Н имеющих одинаковую площадь дна, сила полного давления на дно будет одинакова. Это свойство известно как гидростатический парадокс.