Вывод основного уравнения гидростатики.

Для вывода основного уравнения гидростатики необходимо проин­тегрировать полученные дифференциальные уравнения равновесия (2.1).

Умножим каждый член первого из уравнений Эйлера на dx, второго и третьего — на dy и dz соответственно и сложим почленно. В результате получим (2.2)

Очевидно, что правая часть уравнения (2.2) представляет собой полный дифференциал давления dp, поскольку давление является функци­ей координат р = f(x,y,z). Но если правая часть уравнения есть полный дифференциал, то и левая его часть должна быть полным дифференциалом какой-то функции. В случае, когда р = const (жидкость однородная и не­сжимаемая), существует некая функция координат U = f(x, у, z) которая обладает следующим свойством:

Силы, для которых такая функция существует, называются силами, имеющими потенциал. Функция U называется силовой потенциальной функцией.

Тогда уравнение равновесия (2.2) можно записать в виде 𝜌 dU = dp. (2.3)

Из этого можно сделать вывод, что несжимаемая жидкость может находиться в равновесии только под действием объемных сил, имеющих потенциал.

Как известно, к таким силам относится, например, сила тяжести. Ес­ли на жидкость действует только одна объемная сила - сила тяжести, то можем записать Х = 0, 7 = 0, Z = -g.

Уравнение равновесия тогда примет вид: -𝜌gdz=dp.

Считая р = const, интегрируем и получаем

Отсюда видно, что в покоящейся жидкости, на которую действуют только силы тяжести, давление есть функция только одной координаты - z. Это уравнение, записанное в виде называют основным уравнением гидростатики.

Константу в уравнении (2.4) определим из граничного условия.

Расположим начало координат на поверхности жидкости, где р = ро, при z = 0. Тогда имеем:const = - ро.

Используем новую переменную - глубину погружения от поверхно­сти жидкости h = — z. Тогда окончательно получим уравнение для гидро­статического давления:p = po+pgh. (2.5)

Таким образом, давление в любой точке жидкости, находящейся под действием силы тяжести, складывается из давления на поверхности и про­изведения объемного веса жидкости на глубину погружения этой точки. Из уравнения видно, что давление изменяется линейно с глубиной погруже­ния.