Властивості модуля неперервності.

I. Функція монотонно зростає. Дійсно, якщо то множина пар які задовольняють умову ширше, ніж множина таких пар, для яких . Зважаючи на те, що при розширенні числової множини її точна верхня межа може хіба лише збільшитись, ясно те, що

II. Для того, щоб функція була рівномірно неперервна на проміжку необхідно та достатньо, щоб

III. Якщо – натуральне число, то

Дійсно, нехай

Розіб’ємо сегмент на рівних частин точками

Очевидно, що

З іншого боку, звідки

і тому

Властивість доведена.

IV. При будь-якому додатному

Дійсно, нехай є ціла частина , така що . Тоді

Означення 1.2.Якщо функція задана на проміжку і при всіх і із цього проміжку задовольняє нерівність

то кажуть, що функція задовольняє умову Ліпшиця з показником і коефіцієнтом , і пишуть

Інакше кажучи, є клас всіх функцій, які задовольняють умову Ліпшиця даного порядку із заданим коефіцієнтом , а є класом функцій, які задовольняють умові Ліпшиця порядку з будь-яким коефіцієнтом.

Означення 1.3.Найкраще наближення. Для будь-якої обмеженої вимірної функції , заданої на кінцевому відрізку , і будь-якого натурального існує звичайний многочлен

степеня не вище , що найменш ухиляється від неї на цьому відрізку, тобто такий, що серед усіх інших многочленів , які мають степінь, не більше ніж , реалізує найменше значення для відхилення

Означення 1.4.Нехай функція належить , тобто неперервна і має період . Взявши будь-який тригонометричний поліном порядку не вище , покладемо

Будемо називати цю величину відхиленням полінома від функції . Змушуючи поліном пробігати всю множину *) ми отримаємо цілу множину невід’ємних відхилень . Точна нижня межа

цієї множини називається найменшим відхиленням поліномів із від або найкращим наближенням до поліномами із .

Означення 1.5.Нехай – натуральне число. Будемо казати, що функція є модуль неперервності -го порядку функції , якщо

де – кінцева різниця функції -го порядку з шагом :