Теорема С. Н. Бернштейна.

Теорема 4.1. Нехай і – її найкраще наближення поліномами із . Якщо при всіх натуральних

тоді при можна стверджувати, що

А якщо , то

*).

Доведення.Для будь-якого натурального існує тригонометричний поліном порядку не вище , для якого

Покладемо

Легко побачити, що

або

Візьмемо будь-яке число , для якого

і нехай Тоді

Нехай натуральне число підібрано із умови

(очевидно, ). В такому разі

Дамо оцінку поліному

Звідси

отже,

де покладемо для кратності

З іншого боку, є тригонометричний поліном порядку не вище . Отже, для його похідної на основі нерівності С. Н. Бернштейна*) справедлива оцінка

На основі формули Лагранжа

Тому

Зважаючи на те що і об’єднані єдиною умовою , остання нерівність показує, що

де . Помітно, що, в силу (4.1)

надамо останній нерівності вигляд

До цих пір міркування однаково відносились як до випадку, коли так і до того, коли Тепер нам треба розрізнити ці випадки.

Якщо то

Але за (4.1)

Отже,

і

Інакше кажучи,

А це означає, що .

Якщо ж , то нерівність (4.2) має вигляд

Із нерівності випливає, що

а так як (або ), то

звідки

Позначимо через число, більше, ніж і , знаходимо

Що і завершує доведення теореми.