Узагальнення теореми Джексона.

У 1950 році С. Б. Стечкіним була опублікована стаття, у якій один із параграфів присвяченій узагальненню теореми Джексона. Як відомо, Джексон довів наступну теорему: якщо має неперервну -у похідну , то

Таким чином, теорема Джексона дає оцінку зверху для найкращих наближень, якщо відомі диференційовані властивості функції, що апроксимується.

В 1947 році з’явилася робота С. Н. Бернштейна. Одна із теорем цієї роботи містить у якості наслідку таку пропозицію: нехай

Тоді

С. Б. Стечкіним доведено наступне узагальнення цих теорем:

Було отримано невелике посилення теореми Джексона о найкращих наближеннях періодичних функцій тригонометричними поліномами.

Лема 3.1.Нехай дано натуральне число . Існує послідовність ядер , де є тригонометричний поліном порядку не вище , який задовольняє умови:

і

У якості ядер можна взяти ядра Джексона достатньо високої степені, тобто покласти

де – ціле, не залежить від , натуральне визначається із нерівності

а обирається так, щоб виконувалось нормування (1).

Лема 3.2.Якщо послідовність ядер задовольняє усім умовам попередньої леми, то

Доведення. Користуючись (3.2) і (3.3) маємо наступне

і лема доведена.

Теорема 3.1.Нехай

(3.5)

Доведення. Нехай послідовність ядер задовольняє всі умови леми 1. Покладемо

Видно, що є тригонометричний поліном порядку не вище Оцінимо . Маємо

Тому

Оцінимо останній інтеграл. Вважаючи в нерівності (1.6) , отримаємо, що

Звідси і із (3.4) слідує:

Підставивши цю оцінку в (3.6), отримаємо твердження теореми.

Наслідок. Нехай – натуральне число, – ціле невід’ємне. Тоді

Дійсно, згідно (1.11),

Використання теореми 3.1 дає (3.7).