Властивості модуля неперервності -го порядку.

Лема 1.1. Для будь-якого натурального і будь - якого

Лема 1.2. Нехай і – натуральні числа, Тоді для будь-якого

і

Доведення. Покладемо

Тоді для маємо

звідки

Звідси при випливає (1.2), а при – (1.3).

Вважаючи в (1.3) , знаходимо, що

Із останньої нерівності видно, що для будь-якого натурального

Лема 1.3. Для будь-якого натурального модуль неперервності -того порядку є неперервною функцією від .

Доведення. Нехай Маємо

Звідси

і

Таким чином,

і так як при , то звідси випливає неперервність функції , і лема доведена.

Лема 1.4. Нехай і – натуральні числа. Тоді для будь-якого

Доведення. Індукція по дає формулу

Звідси

і

Лема 1.5. Нехай – натуральне число Тоді

Якщо, крім того, , то

Доведення. Доведемо спочатку нерівність (1.6). Ця нерівність очевидна для . Розглянемо . Знайдемо натуральне число із умов

Тоді , і так як є не спадаючою функцією від , то, приймаючи до уваги (1.5) і (1.8), отримаємо

і нерівність (1.6) доведена.

Нерівність (1.7) випливає із (1.6), так як для

Нерівність (1.7) показує, що для будь-якого і будь-якого натурального

Лема 1.6. Нехай має -ту похідну Тоді

і для будь-якого натурального

Доведення. Обидві нерівності безпосередньо випливають із формули

Означення 1.6.Нехай . Тоді модуль неперервності

де

Означення 1.7.Нехай – клас функцій, що визначені на сегменті і задовольняють умову Діціана і Тотіка

Теорема 1.1. Діціана і Тотіка.[3]. Для того, щоб необхідно і достатньо, щоб