Лекция 6. Канонические уравнения Гамильтона.

В уравнениях Лагранжа второго рода, описывающих движение голономной системы в поле потенциальных сил, функция Лагранжа зависит от обобщенных координат (q_i), обобщенных скоростей ( ) и времени: . Уравнения Лагранжа представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка . Переменные _, , t называются переменными Лагранжа. Гамильтон предложил записывать уравнения движения в координатах q_i, p_i ,t, где p_i – обобщенные импульсы ( ), которые позволяют получить систему уравнений первого порядка движения в симметричной форме. Эти переменные _, p_i ,t называются переменными Гамильтона или каноническими переменными. Гамильтон ввел в рассмотрение новую функцию H(q_i, p_i, t)= , которая при помощи преобразований позволяет перейти от переменных Лагранжа к переменным Гамильтона и получить уравнения первого порядка в частных производных. Эта функция носит название функции Гамильтона.

Выведем уравнения движения, отвечающие координатам q_i и p_i. Это можно сделать с помощью преобразования, которое носит название преобразование Лежандра.

Запишем полный дифференциал правой части функции Гамильтона

Запишем полный дифференциал левой части уравнения функции Гамильтона

Сравним оба выражения с учетом условия и получим

, , .

Но так как , получаем следующие уравнения движения:

, .

Эти уравнения называются уравнениями Гамильтона или каноническими уравнениями.

В новых переменных n обыкновенных уравнений Лагранжа 2-го порядка преобразуется в разрешенную относительно обобщенных скоростей систему 2n уравнений 1-го порядка в частных производных.

Обобщенные скорости , входящие в функцию Гамильтона, должны быть выражены в зависимости от обобщенных координат q_i и обобщенных импульсов p_i: H=H(t, q_i, p_i).

Уравнения Лагранжа разрешимы относительно обобщенных скоростей, следовательно, могут быть выражены через переменные Гамильтона и наоборот.