Физический смысл функции Гамильтона.

Кинетическая энергия в обобщенных координатах представляет собой многочлен второй степени относительно обобщенных скоростей и имеет вид: , где , , являются однородными функциями обобщенных скоростей , причем - второй степени, - первой степени, а - нулевой степени.

Поскольку и ,

функция H имеет вид или

.

По теореме Эйлера об однородных функциях , , . Тогда, если функция Гамильтона от времени явно не зависит, то имеет место обобщенный интеграл энергии .

Если система голономна и стационарна, то , и формула принимает вид . Обобщенный интеграл энергии становится законом сохранения механической энергии: , т.е. для голономной стационарной системы функция Гамильтона представляет собой полную механическую энергию.

Интеграл Якоби. Найдем полную производную функции Гамильтона по времени. Используя канонические уравнения Гамильтона, получим

,

т.е. полная производная функции Гамильтона по времени тождественно равна ее частной производной: . Если функция Гамильтона не зависит явно от времени, производная по времени равна нулю: . В силу тождества, указанного выше, , т.е. при движении системы , где h - произвольная постоянная. Функцию , называют обобщенной полной энергией, а равенство обобщенным интегралом энергии.

В случае голономной системы с нестационарными связями функция Гамильтона вычисляется по формуле и, если она не зависит от времени, то . Соотношение называется интегралом Якоби.

Если система консервативна, т.е. она голономна и стационарна и силы имеют потенциал, не зависящий от времени, то .

Обобщенный интеграл переходит в обычный и представляет собой закон сохранения механической энергии.

Следовательно, в случае стационарных связей функция Гамильтона равна полной механической энергии, т.е. H = T+П.