Циклические координаты.

Важным источником упрощения интегрирования дифференциальных уравнений движения является наличие циклических координат. Рассмотрим голономную систему, движущуюся в потенциальном поле сил. Пусть система имеет n степеней cвободы, а q_i- ее обобщенные координаты.

Координаты q_a (a= 1,…, k) называются циклическими, если они явно не входят в функцию Лагранжа, т.е., .

Следует заметить, что и, следовательно, циклические переменные также не входят явно и в функцию Гамильтона, .

В этом случае соответствующие циклическим координатам импульсы сохраняют постоянное значение, т.е. являются первыми интегралами: p_a =const=c_a.

При этом изменение остальных координат по времени остается такое же, как в системе с (n-k) степенями свободы, в которой постоянные величины c_a. играют роль параметра.

Из уравнений Лагранжа следует: , (a=1,…,k)

Из уравнений Гамильтона следует: , .

Предположим, что первые k обобщенных координат q_a (a = 1,…,k) являются циклическими.

Тогда , , .

Поскольку циклические координаты не входят явно в функцию Гамильтона, то соответствующие этим координатам обобщенные импульсы могут быть заменены постоянными c_a. Функция Гамильтона теперь будет зависеть от (n-k) обобщенных координат и (n-k) обобщенных импульсов и k постоянных c_a.

Выпишем канонические уравнения для нециклических координат

, , (i=k+1,…,n)

Это система 2(n-k) дифференциальных уравнений первого порядка относительно обобщенных координат и обобщенных импульсов. Решение уравнений будет содержать 2(n-k) произвольных постоянных интегрирования с_i , а также k постоянных интегрирования c_a..

, , a=(1,…,k), i=(k+1,…,n)

Зависимость циклических координат q_a от времени определяется из уравнения ,

Интегрирование дает , где с - произвольная постоянная. Таким образом все свелось к интегрированию системы уравнений Гамильтона, порядок которой на меньше порядка исходной системы 2n на 2(n-k) единиц, где k циклических координат. Т.е. наличие k циклических координат дало возможность понизить порядок системы на 2k единиц.

___________________________________________

Пример. Получим гамильтонову форму движения математического маятника.

, .

Из равенства , находим .

Находим функцию Гамильтона

Канонические уравнения имеют вид

, .

_______________________________________________________