Статистическое моделирование морского волнения и ветра

Рассмотрим теперь применение метода статистического моделирования для оценки мореходности проектируемого корабля. Начнём со статистического моделирования процесса изменения пульсационной составляющей скорости устойчивого порывистого ветра за время действия стационарного ветрового (ветроволнового) режима . Пусть и - дисперсия указанной составляющей скорости ветра и средняя частота пульсаций. Тогда процесс изменения указанной составляющей скорости ветра может быть описан корреляционной функцией

,

и спектральной плотностью , где -промежуток времени между двумя измерениями волновых ординат, а - частота порывов ветра, .

При этом корреляционная функция и спектральная плотность связаны между собой прямым и обратным преобразованиями Фурье:

При имеем , и по определению корреляционной функции получается, что . Тот же результат получается и по преобразованию Фурье, когда :

.

Для принятой формы корреляционной функции преобразование Фурье даёт

Подробный вывод этого соотношения приведен, в частности, в [124], c. 96. При этом зависимость получается достаточно пологой, тогда как передаточная функция бортовой качки судна имеет обычно острый пик, тем более острый, чем меньший коэффициент демпфирования. Поэтому в окрестности частот , где есть частота свободных бортовых колебаний и , можно принять . Тогда спектральная плотность действующего возмущения оказывается постоянной (не зависящей от частоты) величиной, и мы приходим к уже встречавшемуся нам в подразделе 1.14.5 раздела 1.14 понятию возмущения в виде белого шума. Будем далее полагать, что рассматривается белый шум в узком смысле.

В математическом обеспечении ПЭВМ, наряду с генератором случайных чисел, должен быть и генератор белого шума . Тогда искомая реализация определится из дифференциального уравнения вида

.

Такие стохастические дифференциальные уравнения носят название формирующих фильтров.

Перейдём к рассмотрению морского волнения. Отметим, что реальное нерегулярное морское волнение может быть описано одним из таких двух способов:

-через интегральные характеристики процесса волнения, которые получаются в результате обработки океанографических данных (данных натурных экспериментов);

-через реализацию реального морского волнения как случайного процесса, которая может быть получена как по океанографическим данным, так и теоретически, на основе известных интегральных характеристик.

Все расчёты мореходности, выполняемые на основе интегральных характеристик морского волнения, могут быть выполнены и на основе его реализаций, причём расчёт на основе реализаций оказывается существенно более громоздким и сложным. Пример сопоставительного расчёта характеристик бортовой качки корабля на основе интегральных характеристик реального морского волнения и реализаций реального морского волнения приведен в работе [99]. Результаты расчётов по обоим методам оказались достаточно близкими. А вот обратное утверждение неверно: существуют задачи, которые могут быть решены только на основе имитационного моделирования и применения реализаций морского волнения.

При оценках мореходности в большинстве случаев можно ограничиться заданием интегральных характеристик морского волнения и отказаться, таким образом, от имитационного моделирования. Но всё же, хотя и не часто, но встречаются такие задачи по оценке мореходности проектируемого корабля, решение которых возможно только на основе анализа реализаций морского волнения. К таким задачам, в частности, относятся:

-анализ влияния волнения на состояние личного состава корабля и на выполнение личным составом корабельных работ;

-расчёты качки корабля, снабжённого такими активными успокоителями качки, закон изменения угла перекладки которых не представляет собой линейную функцию с постоянными коэффициентами от ординат процесса качки, а также ряд других задач.

В процессе выполнения оценок мореходности интегральные характеристики волнения будем считать известными из анализа реальных фактических реализаций морского волнения, которые получены в натурных экспериментах, на основе обработки экспериментальных реализаций . Мы не ставим здесь задачу найти по реализации эти интегральные характеристики. Предполагается, что все эти характеристики волнения нам известны, но для выполнения тех или иных специальных расчётов в дополнение к этим характеристикам нам необходима теоретически рассчитанная (не экспериментальная!) реализация . При этом полученная реализация должна отвечать всем интегральным характеристикам волнения. Для этого следует предусмотреть специальные проверочные процедуры.

Поэтому рассмотрим сначала интегральные характеристики волнения. Основными интегральными характеристиками процесса морского волненияявляются:

-дисперсия волновых ординат , которая однозначно определяет высоты волн обеспеченности ;

-средние период волны частота и длина ;

-спектральная плотность и однозначно связанная с ней через преобразование Фурье корреляционная функция , здесь - частота элементарной гармоники нерегулярного волнения;

-законы распределения ординат и амплитуд волнения;

-законы распределения периодов или длин волн.

При этом величины и необходимо задавать во всех случаях. Помимо них может быть задана спектральная плотность , и такой способ задания характеристик нерегулярного волнения называется спектральным. Но вместо спектральной плотности может быть задана и плотность вероятности (или ), и такой способ задания характеристик нерегулярного волнения носит название статистического способа. Взаимосвязь между спектральным и статистическим способами задания характеристик волнения мы рассмотрим далее.

Величины , и связаны между собой соотношениями вида:

где - ускорение свободного падения.

Коэффициенты и связаны со степенью упорядоченности волнения. При малой интенсивности волнения, которая отвечает высотам волн 3%-обеспеченности , спектральная плотность оказывается достаточно пологой функцией частоты элементарных гармоник волнения и при расчётах дисперсии она может быть заменена своим значением при . Соответственно случайный процесс морского волнения может считаться близким к белому шуму. В этом случае коэффициент близок к . В случае же волнения высокой интенсивности, когда , такое волнение предполагается по степени упорядоченности близким к регулярному волнению, и коэффициент близок к 1 (как это и было бы в случае регулярного волнения). Поэтому в качестве средних значений можно рекомендовать принимать

где измеряется в метрах.

Коэффициент для регулярного волнения равен, очевидно, , для нерегулярного волнения он может повыситься примерно до 1.

Коэффициент связан со степенью развитости волнения, т.е. от времени, прошедшего с момента зарождения волнения до воздействия этого волнения на корабль. Для развивающегося волнения , для ослабевающего волнения и для развитого волнения .

Известны два представления спектральной плотности волновых ординат: это группа эмпирических спектров, которые получаются путём применения преобразования Фурье к эмпирическим корреляционным функциям, и группа теоретических спектров (спектры в форме Барлинга). Эти вопросы мы более подробно рассмотрим ниже.

В качестве закона распределения ординат волн обычно применяется центрированный нормальный закон, так что

В качестве закона распределения амплитуд волн обычно применяется закон Рэлея. Он получается как закон распределения двумерного радиус-вектора с нормально распределёнными компонентами, [38]:

где - средняя амплитуда волны.

В этом случае квантиль высоты нерегулярной волны при обеспеченности есть

Предположим теперь, что нам известна максимально возможная амплитуда волны , для этой амплитуды вероятность превышения строго равна 0 (при применении закона Рэлея, равно как и нормального закона, теоретически возможно возникновение волн любой, сколько угодно большой амплитуды, хотя и с очень малой вероятностью). Обозначим .Тогда будет, [136]:

Выполняя в этих соотношениях предельный переход, когда и , приходим к нормальному распределению для ординат и к закону Рэлея для амплитуд, [136].

Кроме того, если - совместный дифференциальный закон распределения амплитуд и длин волн, а - спектральная плотность волновых ординат, то приходим к следующему соотношению, которое связывает между собой спектральный и статистический способы задания нерегулярного волнения:

.

Это соотношение можно представить и в виде

. (1.108)

Наличие точного равенства в этих соотношениях строго вытекает из соответствующих теоретических зависимостей, [81]. Однако как плотность вероятности , так и спектральная плотность на практике определяются путём аппроксимации эмпирических зависимостей с той или иной степенью приближения. Поэтому точное равенство здесь фактически имеет место только при согласованных между собой зависимостях для спектральной плотности и совместного закона распределения амплитуд и длин волн .

Примером такого согласования является представление плотности вероятности в виде произведения двух маргинальных распределений Рэлея, , а спектральной плотности - в форме Барлинга с коэффициентами Пирсона - Московица, [81].

Теперь мы можем перейти к нашей основной задаче – к представлению реального морского волнения в виде реализации соответствующего случайного процесса. В этом случаемы в системе координат получаем случайные ординаты . Далее мы ограничимся рассмотрением только двумерного нерегулярного волнения. В основе представления реализации морского волнения лежит описанный в подразделе 1.2.2 раздела 1.2 несобственный интеграл Фурье - Стилтьеса с нулевым нижним пределом в виде, [17]:

при этом выполнено условие

.

В этих формулах - дифференциал случайной амплитуды нерегулярного волнения как функция частоты элементарной гармоники нерегулярного волнения , - фаза, которая предполагается равномерно распределённой в интервале от 0 до , а символ означает операцию взятия математического ожидания от случайной величины . Кроме того, функция имеет нулевое математическое ожидание при всех , а также независимые приращения. Последнее условие означает, что

,

где - шаг по частотам.

Возвращаясь в соотношении Фурье - Стилтьеса от несобственного интеграла к исходной бесконечной сумме, получаем каноническое разложение процесса морского волнения. В теории случайных функций под каноническим разложением случайной функции понимается замена этой функции линейной комбинацией некоторых неслучайных функций , коэффициентами при которых служат центрированные случайные величины , которые не коррелированы между собой, [124]. Таким образом, учитывая, что разлагаемая случайная функция является центрированной, её каноническое разложение в общем виде запишется как

.

Для того, чтобы установить фактический смысл величин и , мы и должны перейти в соотношении Фурье - Стилтьеса от несобственного интеграла к исходной бесконечной сумме. Это даст нам , где - амплитуда элементарной гармоники с частотой , а , где - фаза элементарной гаврмоники.

Таким образом, каноническое разложение морского волнения получается путём одновременного (параллельного) сложения элементарных гармоник в форме:

(1.109A)

или в форме

(1.109Б)

Учитывая, что амплитуды волн распределены по закону Рэлея, плотность вероятности частот задана соотношением (1.108), а фаза и в этом случае предполагается равномерно распределённой в интервале от 0 до , то окончательно с учётом некоторых соотношений работы [64] имеем:

;

где - случайные коэффициенты на -ом шаге, подчинённые центрированному распределению Рэлея с дисперсией (cоотношение (1.105)), - случайная фаза на -ом шаге, независимая от и равномерно распределённая в интервале от 0 до 2p (соотношение (1.106)), - случайная частота на -ом шаге (соотношение (1.108)), - шаг по частоте, , - максимальное значение амплитуды волны на п-й гармонике, принимаемое из условия обрушения равным длины соответствующей волны, , , - независимые случайные числа, выбранные на -ом шаге.

Допущение о независимости случайных чисел и равнозначно достаточно употребительному на практике допущению о том, что совместная плотность вероятности амплитуд и длин волн может быть представлена в виде произведения соответствующих маргинальных распределений в виде .

Иной вариант канонического разложения может быть основан не на интеграле Фурье-Стилтьеса, а на том обстоятельстве, что ординату морского волнения можно представить как сумму элементарных импульсов вида, [98]:

где - параметры эмпирического спектра морского волнения, а - момент действия -го импульса.

Пусть за время действуют импульсов, причём момент действия -го импульса равномерно распределён в интервале , . Тогда случайные моменты действий импульсов , и каноническое разложение ординат морского волнения принимает вид:

где , - независимые случайные числа, выбранные на -ом шаге.

Если величины и рассматриваются как детерминированные и задаются своими диапазонами изменения типа , то будет, [151]:

-при имеем и ;

-при имеем и ;

-при имеем и ;

-при имеем и ;

-при имеем и ;

-при имеем и .

При более точных расчётных оценках величины и следует рассматривать как случайные, равномерно распределённые между соответствующими минимальными и максимальными значениями, [151]. Тогда в соответствии с формулой (1.106) на - м шаге и , и для каждого -ого шага имеем

где и - случайные числа, независимые как друг от друга, так и от случайных чисел и .

В теории случайных процессов известно также и неканоническое разложение реализации случайного процесса, когда его реализация задаётся через неслучайную функцию времени и некоторые случайные величины. В этом случае выполняется последовательное сложение элементарных гармоник со случайными начальными фазами. В этом случае время существования моделируемого стационарного волнового режима разбивается на отрезков, так что , где - временная протяжённость - го отрезка. Тогда с учётом соотношений (1.105)-(1.106) и (1.108) имеем, [76]:

(1.110А)

………………………..

где - случайные амплитуды волн, плотность вероятности которых в соответствии с распределением Рэлея есть ;

- случайные частоты волны, плотность вероятности которых есть ;

- случайная фаза, равномерно распределённая на интервале от 0 до ;

, , - независимые случайные числа, выбранные на -ом шаге.

Неканоническое разложение можно представить и так:

(1.110Б)

………………………..

,

где - случайные периоды волн, плотность вероятности которых есть , [17].

Кроме того, в формулах для неканонического разложения морского волнения принимается

Несложно показать, основываясь на определении случайного числа, что средние частоты и периоды волнения при достаточно большом числе реализаций будут сколь угодно близки к соответствующим средним значениям средней частоты и среднего периода .

Связь между амплитудами волн при каноническом и неканоническом разложениях нерегулярного морского волнения определится как

Неканоническое разложение представляет собой в известной степени возврат к тому способу учёта нерегулярности морского волнения, который применялся до середины - конца 1950-х г.г., до начала использования для этой цели спектральной теории случайных процессов. В то время нерегулярное волнение представлялось последовательностью регулярных волн, высоты и длины (частоты, периоды) которых несколько отличались. Далее выполнялись последовательные расчёты того или иного вида качки на каждой такой регулярной волне и по полученным результатам делался вывод о поведении корабля на реальном волнении. Разница с методом статистического моделирования была только та, что последовательности высот и длин волн назначались тогда интуитивно, вне связи с соответствующими краткосрочными распределениями и с функционированием датчика случайных чисел. Интересно отметить, что такие расчёты выявили значительное влияние на результат расчёта свободных колебаний, которыми на строго регулярном волнении обычно пренебрегают, [12].

Для контроля согласованности найденной реализации с заданной дисперсией волновых ординат можно использовать следующий подход. Пусть реализация , начавшись с оси абсцисс (в начальный момент времени ), до своего завершения раз пересекает ось абсцисс. Пусть, далее, есть местная амплитуда процесса. Иными словами, есть максимальное по абсолютной величине значение реализации между -м и - м пересечениями этой реализацией оси абсцисс, . Тогда имеем

,

где - частота формы полуволны, приближённой аппроксимируемой регулярной волной, между -м и - м пересечениями реализацией оси абсцисс;

- средняя частота морского волнения.

Рассмотрим переход к регулярному волнению. В этом случае

.

Тогда амплитуда регулярной волны будет

.

Это соотношение представляет практический интерес тогда, когда рассматривается процесс, длительность которого намного больше периода собственных колебаний любого вида качки корабля. Тогда без значительной погрешности можно аппроксимировать фактическую реализацию осреднённой квазирегулярной реализацией с амплитудой и с частотой, равной средней частоте нерегулярного волнения. Примером такого процесса является процесс работы личного состава в условиях качки.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда вместо генератора случайных чисел используется генерация при помощи соответствующего программного обеспечения ординат некоторого случайного процесса с заданной спектральной плотностью. В этом случае принимается за основу каноническое разложение морского волнения. Под генерируемым случайным процессом понимается белый шум в узком смысле . Предполагается, что этот процесс является дифференцируемым и производная вида существует и может быть определена. Спектральная плотность белого шума и корреляционная функция , где - дельта - функция. Среднее значение ординат белого шума равно 0, а коэффициент интенсивности белого шума .

Пусть, далее, корреляционная функция морского волнения , где - промежуток времени между двумя измерениями волновых ординат, и cвязанная с преобразованием Фурье спектральная плотность волнения характеризуются следующими эмпирическими зависимостями:

(1.111)

(1.112)

Тогда искомая реализация морского волнения определится путём численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения следующего вида, [97,98]:

(1.113А)

Пусть теперь корреляционная функция волновых ординат задана соотношением

чему отвечает спектральная плотность волновых ординат в форме

В этом случае найти реализацию можно из стохастического дифференциального уравнения следующего вида:

. (1.113Б)

Дальнейший анализ соотношения (1.113Б), выполненный в работе [98], привёл к таким выводам. Волнение, спектр которого отвечает соотношению (1.112), формируется случайной функцией, реализации которой состоят из одинаковых по форме импульсов . Эти импульсы случайным образом состыкованы между собой, а величина каждого такого импульса есть

Допущение о независимости формы импульсов от времени - иными словами, допущение о том, что и - является следствием допущения о стационарности морского волнения как случайного процесса. Если случайный процесс стационарен, то его дисперсия не зависит от времени. Но такое допущение является упрощением реальной ситуации и может, вообще говоря, служить источником погрешностей. Если реальное морское волнение описывается своими интегральными характеристиками, то такие погрешности мало существенны. При формировании реализаций реального волнения такие погрешности нежелательны, и для их уменьшения В.А. Некрасов предложил искать реализацию путём численного интегрирования стохастического дифференциального уравнения следующего вида, [98,99]:

(1.114)

,

где - момент спектральной плотности порядка , при этом ;

- некоррелированные между собой белые шумы со средними значениями ординат, равными 0, и с коэффициентами интенсивности второго порядка, равными 1.

Величины и определяются из следующих условий, [98,99]:

-амплитуды волн распределены по закону Рэлея;

-дисперсия скорости изменения амплитуды ;

-дисперсия скорости изменения сдвига фаз .

Несколько иная схема построения дифференциальных уравнений для корреляционной функции и спектральной плотности, заданных соотношениями (1.111)-(1.112), предложена Ю.И. Нечаевым, [102]. В этом случае наряду с реализацией процесса морского волнения вводится в рассмотрение вспомогательный процесс , который независим от процесса и имеет равную с ним дисперсию . Кроме того, автокорреляционная функция процесса при нулевом аргументе также равна дисперсии . Тогда система дифференциальных уравнений для определения ординат основного и вспомогательного случайных процессов имеет такой вид:

Входящие в эти уравнения белые шумы и должны обладать такими свойствами:

(1.115)

(1.116)

Дифференциальные уравнения типов (1.113)-(1.116) носят название формирующих фильтров. Статистическое моделирование бортовой и продольной качки корабля на основе канонического разложения морского волнения и применения формирующих фильтров могут быть использованы при проверке допущений, заложенных в схему краткосрочного прогнозирования вероятностных характеристик качки. Эта схема применяется при анализе влияния качки на действие автоматических и автоматизированных систем управления огнём на надводном корабле.