Статистическое моделирование качки корабля по изолированному уравнению при применении канонического разложения морского волнения

Далее необходимо рассмотреть расчёты амплитуд различных видов качки при применении канонического и неканонического разложений. Начнём с того, как определяется амплитуда качки при применении канонического разложения морского волнения. Так, пусть есть ордината перемещений при одном из видов качки корабля. Для нахождения ординаты какого-либо вида качки по изолированному уравнению (т. е. в предположении, что этот вид качки не зависит от других видов качки), используется каноническое разложение в форме (1.109А). Тогда приходим к изолированному дифференциальному уравнению вида:

(1.117)

где - обобщённая масса корабля, равная массе корабля для продольно-горизонтальной, поперечно-горизонтальной и вертикальной качки и соответствующим собственным моментам инерции массы при бортовой качке, килевой качке и при рыскании);

- обобщённая присоединённая масса (присоединённый момент инерции массы) для соответствующего вида качки, зависящий в общем случае от частоты возмущения ;

- обобщённый коэффициент линейного демпфирования для соответствующего вида качки, зависящий в общем случае от частоты возмущения ;

- коэффициент жёсткости (для дополнительных видов качки - продольно-горизонтальной, поперечно-горизонтальной и рыскания - , для изолированного уравнения вертикальной качки , где - площадь КВЛ, для изолированных уравнений бортовой качки, а при отсутствии хода - и килевой качки коэффициент жёсткости равен соответственно коэффициентам продольной и поперечной остойчивости, а сам этот термин заимствован из теории упругих систем);

-поправки на нелинейность демпфирующего и восстанавливающего моментов;

- ординаты перемещений при продольно - горизонтальной, поперечно-горизонтальной и вертикальной качке;

- то же при бортовой качке, килевой качке и рыскании;

- обобщённый безразмерный возмущающий момент.

- полный поправочный коэффициент.

Термин «коэффициент жёсткости» заимствован из теории упругих систем.

Для дополнительных видов качки - продольно-горизонтальной, поперечно-горизонтальной и рыскания, когда восстанавливающие силы (моменты) отсутствуют, коэффициент жёсткости .

Для изолированного уравнения вертикальной качки

где - площадь КВЛ.

Для изолированного уравнения бортовой качки, а при отсутствии хода - и для изолированного уравнения килевой качки коэффициент жёсткости равен соответственно коэффициентам поперечной и продольной остойчивости (здесь - водоизмещение, а - поперечная и продольная начальные метацентрические высоты).

Полный поправочный коэффициент учитывает не только конечность размеров корабля по сравнению с длиной волны, но и наличие наряду с главной частью возмущающей силы (момента) также и дифракционной части. В случае применения формирующих фильтров структурное выражение для обобщённого безразмерного возмущающего момента может измениться. В этом случае приходится делать дополнительные допущения относительно частоты, которая отвечает каждой реализации. В случае, если амплитудно-частотная характеристика качки имеет ярко выраженный резонансный пик (бортовая качка), то можно считать, что качка совершается с частотой собственных свободных колебаний.

Начнём наше рассмотрение соотношения (1.117) с наиболее простого случая, когда коэффициенты дифференциального уравнения качки не зависят от частоты, а качка линейная. Математически это означает, что

.

В этом случае, разделив все члены указанного уравнения на коэффициент при старшей производной, находим:

(1.118)

где - обобщённый размерный коэффициент демпфирования;

-обобщённая частота собственных свободных колебаний;

- частота собственных свободных колебаний.

В частных случаях величина может представлять собой размерный коэффициент демпфирования для конкретного вида качки, а величины и могут совпадать. Определение всех этих величин хорошо известно из теории качки и здесь не приводится.

Для определения амплитуды вынужденных колебаний системы с линейным демпфированием и линейным восстановлением при произвольной зависимости возмущения от времени в теории колебаний используется соотношение, известное как интеграл Дюамеля.

Применяя это соотношение, находим:

Предположим теперь, что корабль совершает колебания на регулярной волне (а это отвечает не только собственно регулярному волнению, но и отдельно взятому колебанию при неканоническом разложении нерегулярного волнения). В этом случае

Тогда зависимость колебаний корабля от времени будет:

,

где - неслучайные амплитуда и фаза синусоидальных в данном случае колебаний корабля.

При этом для амплитуды как путём преобразования интеграла Дюамеля при затухании собственных колебаний, когда , так и путём непосредственного решения полученного элементарного дифференциального уравнения можно найти

Последнее соотношение представляет собой общеизвестное уравнение амплитудно-частотной характеристики регулярной качки.

В то же время указанные выше допущения в части независимости коэффициентов уравнений качки от частоты и в части линейности этих уравнений выполняются не всегда. Так, при рассмотрении бортовой качки традиционных кораблей существенными могут оказаться нелинейности по демпфирующему и восстанавливающему моментам (зависимость коэффициентов уравнения бортовой качки от частоты проявляется слабо). А при рассмотрении бортовой качки многокорпусных кораблей, напротив, существенной оказывается зависимость коэффициентов уравнений качки от частоты, тогда как нелинейности проявляются в значительно меньшей степени. Та же ситуация имеет место и при рассмотрении уравнения килевой качки как для традиционных, так и для многокорпусных кораблей на небольших (число Фруда не более 0,25) скоростях. В то же время в этих случаях можно ограничиться в первом приближении рассмотрением изолированного уравнения качки.

Непосредственное применение интеграла Дюамеля в этих случаях будет неверным. А возможный вариант корректного решения этой задачи дан в 1986 г. С.В. Сутуло, [141].

Прежде чем изложить это решение, дадим следующее определение. Пусть есть некоторая функция частоты , определённая на положительной полуоси частот (т.е. при ).Условно доопределим эту же функциючётным образом для частотного диапазона .Это означает, что .Тогда функция времени , будет представлять собой обратное преобразование по Фурье исходной функции (обозначается ), если функции и связаны между собой интегральным соотношением вида:

причём справедливо соотношение

.

Далее в отношении зависимостей типа и сделаем, следуя С.В. Сутуло, следующие допущения:

-эти зависимости могут быть представлены в форме

-справедливы предельные переходы вида

-зависимости вида и убывают при не медленнее, чем величина (приемлемость этого допущения следует из выполненных М.Д. Хаскиндом асимптотических оценок).

Тогда ординату приходится искать на основе численных методов из интегро-дифференциального уравнения следующего вида:

(1.119)

Если коэффициенты уравнения качки не зависят от частоты, то , и первый интеграл в левой части соотношения (1.119) становится равным 0. Кроме того, в этом случае имеем , и правые части соотношений (1.118) и (1.119) совпадают. Если к тому же качка линейная и , то второй интеграл в левой части соотношения (1.119) также будет равен 0, и соотношения (1.118) и (1.119) совпадут полностью.