Статистическое моделирование качки корабля на основе системы уравнений при применении канонического разложения морского волнения

Более сложные зависимости при применении канонического разложения получаются в случае, когда оказывается необходимым рассматривать систему уравнений качки. Такая ситуация возникает при рассмотрении вертикальной и килевой качки корабля на встречном волнении. Как уже упоминалось, рассмотрение изолированного уравнения килевой качки оказывается приемлемым только на небольших (число Фруда не более 0,25) скоростях, а рассчитывать вертикальную качку всегда приходится с учётом килевой качки. В этом случае, как правило, характеристики качки могут рассматриваться как линейные функции высоты волны, но зависимость коэффициентов уравнений качки от кажущейся частоты (для инерционно-демпфирующих сил) и от истинной частоты (для дифракционной части возмущающих сил) может оказаться существенной. Это обстоятельство ведёт к определённым сложностям при применении метода статистического моделирования, причём преодолеть эти сложности по указанному выше для изолированного уравнения способу уже не удаётся. В этом случае, если применено каноническое разложение морского волнения, то следует заменить исходную систему дифференциальных уравнений качки эквивалентной ей системой. При этом все гидродинамические коэффициенты при инерционно-демпфирующих силах в эквивалентной системе определяются не в функции переменной частоты элементарной гармоники, а в функции постоянной для всего расчёта частоты, которая отвечает максимальной ординате спектральной плотности. А правая часть эквивалентной системы преобразуется так, чтобы расчёт амплитудно-частотных характеристик вертикальной и килевой качки при использовании исходной и эквивалентной систем дифференциальных уравнений приводил бы к одному и тому же результату. Для этого исходная система уравнений приводится к нормальной форме (другое название - форма Коши), записывается в матричной форме и из условия равенства ординат амплитудно-частотных характеристик определяется эквивалентная система.

После этого в эквивалентной системе дифференциальных уравнений продольной качки можно выразить ординату волнения с использованием канонического разложения и численно выполнить все необходимые расчёты. Рассмотрим соответствующий алгоритм.

Исходная система линейных дифференциальных уравнений продольной качки в предположении, что вертикальная и килевая качка взаимосвязаны, но не зависят при этом от прочих видов качки, имеет, как известно, такой вид, [120]:

(1.120А)

(1.120Б)

где - ординаты перемещений, скоростей и ускорений при вертикальной качке;

- то же при килевой качке;

- продольный собственный момент инерции масс корабля;

- присоединённая масса при вертикальной качке корабля;

- присоединённый момент инерции масс корабля при килевой качке;

- присоединённые статические моменты инерции массы при совместной вертикальной и килевой качке;

- коэффициенты демпфирования при вертикальной и килевой качке;

- коэффициенты демпфирования

- площадь КВЛ корабля;

- продольный момент инерции площади КВЛ корабля;

- скорость хода;

- абсцисса центра тяжести площади КВЛ;

- абсцисса центра тяжести корабля;

- аппликата центра величины в прямом положении корабля;

- аппликата центра тяжести корабля;

- амплитуда волнения;

- кажущаяся частота волнения, на встречном волнении

- истинная частота;

- отнесенные к амплитуды косинусной и синусной составляющих возмущающей силы при вертикальной качке;

- отнесенные к амплитуды косинусной и синусной составляющих возмущающего момента при килевой качке.

- фазы возмущающей силы и возмущающего момента при вертикальной и при килевой качке по отношению к набегающему волнению.

При этом

Представим систему (1.120А) - (1.120Б) в форме Коши и в матрично-векторном виде. Тогда указанная система приобретает такой вид, [85]:

(1.121)

где - вектор-столбец состояния;

- матрица коэффициентов инерционно-демпфирующих и восстанавливающих сил;

- вектор-столбец коэффициентов возмущающих сил.

По крайней мере, часть элементов матрицы зависят от кажущейся частоты , и это обстоятельство не позволяет принять в соотношении (1.121) зависимость в форме канонического разложения (1.109Б). Поэтому преобразуем соотношение (1.121) к виду, [85]:

(1.122)

Здесь коэффициенты определяются по тем же зависимостям, что и коэффициенты , но в функции не кажущейся частоты, а частоты, отвечающей максимуму спектральной плотности волнения. Для того, чтобы определение характеристик продольной качки по соотношениям (1.121) и (1.122) приводило бы к одинаковым результатам, необходимо вместо вектора-столбца возмущающих сил ввести аналогичный вектор - столбец , определяемый в виде:

где , а - единичная квадратная матрица размерностью .

Теперь, после подстановки в соотношение (1.122) ординаты волнения в соответствии с каноническим разложением по соотношению (1.109Б), и можно выполнить статистическое моделирование.

1.17.9.Статистическое моделирование качки корабля при применении неканонического разложения морского волнения

Рассмотрим далее определение амплитуд качки при использовании неканонического разложения морского волнения (соотношения (1.110А) - (1.110Б)). Если соответствующая амплитуда линейно зависит от высоты волны, то для каждой отдельно взятой гармоники мы просто выполняем расчёт качки как для регулярной волны. Соответствующие методы в теории качки хорошо известны. При нелинейной зависимости возможно использование известных из теории качки на регулярном волнении методов линеаризации (гармоническая и энергетическая линеаризация). Кроме того, определение амплитуд нелинейной качки либо нелинейной внешней волновой нагрузки при задании морского волнения его неканоническим разложением может быть осуществлено по способу, который был предложен в 1990 г. Г.Б. Крыжевичем, [76].

Рассмотрим этот способ. Пусть функция или представляет собой, зависимость амплитуды одного из основных видов качки или амплитуды внешней волновой нагрузки от высоты волны и от длины волны (или от частоты ). Пусть, далее функция является по аргументу в общем случае нелинейной. Тогда можно вычислить и функцию , где в данном случае верхний индекс «-1» характеризует обратную функцию. Условная плотность вероятности определится как

Так, предположим, что при некоторой частоте зависимость аппроксимирована полиномом, так что

В этом случае

где - количество узлов интерполяции по частоте, ;

- степень аппроксимирующего многочлена, .

Безусловная плотность вероятности определится как

где - числа Кристоффеля.