Інтегрування методом Монте-Карло.

Основи методу Монте-Карло

Метод Монте-Карло (за назвою міста, яке відоме своїми гральними домами) — загальна назва групи числових методів, основаних на одержанні великої кількості реалізацій стохастичного (випадкового) процесу, який формується у той спосіб, щоб його імовірнісні характеристики співпадали з аналогічними величинами задачі, яка вирішується. Використовується для вирішення задач у фізиці, математиці, економіці, оптимізації, теорії управління тощо.

Метод Монте-Карло — це метод імітації для приблизного відтворення реальних явищ. Він об'єднує аналіз чутливості (сприйнятливості) і аналіз розподілу ймовірностей вхідних змінних. Цей метод дає змогу побудувати модель, мінімізуючи дані, а також максимізувати значення даних, які використовуються в моделі. Побудова моделі починається з визначення функціональних залежностей у реальній системі. Після чого можна одержати кількісне рішення, використовуючи теорію ймовірності й таблиці випадкових чисел.

Метод Монте-Карло широко використовується у всіх випадках імітації на ЕОМ.

Не існує єдиного методу Монте-Карло, цей термін описує великий і широко використовуваний клас підходів. Проте ці підходи використовують в своїй основі єдиний шаблон:

1. Визначити область можливих вхідних даних.

2. Випадковим чином згенерувати вхідні дані із визначеної вище області за допомогою деякого заданого розподілу ймовірностей.

3. Виконати детерміновані обчислення над вхідними даними.

4. Проміжні результати окремих розрахунків звести у кінцевий результат.

Наприклад, значення π можна наблизити використанням методу Монте-Карло:

1. Намалюйте квадрат на підлозі, а потім вмалюйте коло всередину нього. З геометрії, співвідношення площі вписаною кола до площі зовнішнього квадрата становить π / 4.

2. Рівномірно розкидати деякі об'єкти однакового розміру по всій площі квадрата. Наприклад, це можуть бути зерна рису.

3. Оскільки дві області знаходяться в співвідношенні π / 4 , об'єкти повинні потрапити в області приблизно в тій же пропорції. Таким чином, підрахувавши кількість об'єктів в колі і розділити на загальну кількість об'єктів в квадраті, отримаємо наближене значення π / 4.

4. Помноживши результат на 4 буде отримано наближене значення власне самого π.

Інтегрування методом Монте-Карло.

Припустимо, необхідно взяти інтеграл від деякої функції. Скористаємося неформальним геометричним описом інтеграла і будемо розуміти його як площа під графіком цієї функції.

Для визначення цієї площі можна скористатися одним зі звичайних чисельних методів інтегрування: розбити відрізок на піввідрізки, підрахувати площу під графіком функції на кожному з них і скласти. Припустимо, що для функції, представленої на малюнку, достатньо розбиття на 25 відрізків і, отже, обчислення 25 значень функції. Уявімо тепер, ми маємо справу з n-мірної функцією. Тоді нам необхідно 25n відрізків і стільки ж обчислень значення функції. При розмірності функції більше 10 завдання стає величезною. Оскільки простору великої розмірності зустрічаються, зокрема, в задачах теорії струн, а також багатьох інших фізичних завданнях, де є системи з багатьма ступенями свободи, необхідно мати метод рішення, обчислювальна складність якого б не настільки сильно залежала від розмірності. Саме такою властивістю володіє метод Монте-Карло.