Свойства

1. ; 2. f(x,y)>=0 при любом x и y; 3.

4. Вероятность того, что некоторая точка попадет в обл D есть двойной интеграл по данной обл от плотности

T.Если f(x,y) плотность распределения вероятностей непр. ДСВ, то плотность распределения составляющих x и y:

Д-во:

Продифференцируем данное выражение по x

Продиф. Данное выражение по y и получим

Вывод: Чтобы задать закон распределения ДСВ нужно задать или ф-ю распределения F(x,y) или плотность распределения f(x,y).

№31. Условная ф-я и условная пл-ть распределения СВ

Условная функция и условная плотность распределения СВ.

Условная плотность распределения случайной величины Y при условии X=x определяется равенством

Условная плотность обладает свойствами плотности распределения:

,

Аналогично определяется условная плотность распределения СВ X при условии Y=y.

№32 . Вероятность попадания случайной точки в прямоугольник и произ. Обл-ть.

Найдем вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник. Искомую вероятность можно найти, например, так :

Из вероятности попадания случайной величины в полуполосу АВ ()

(эта вероятность равна F(x₂,y₂)- F(x₁,y₂)) вычесть вероятность попадания точки в полуполосу CD(эта вероятность равна F(x₂,y₁)- F(x₁,y₁))

.

Вероятность попадания случайной точки (X,Y) в область D равна двойному интегралу от плотности по области D, т.е.

.

№33. Мат. Ожидание непрерывной СВ Х с плотностью вероятности f(x) называется число

Свойства:

1) М.о. от постоянной величины равно постоянной величине;

Д-во: Константа С – это дискретная случайная величина, которая принимает одно лишь значение С с вероятностью 1. Тогда М(С) = С*1 = С

2) Постоянный множитель выносится за знак М.о.

Д-во: Пусть х_i – дискретная СВ.

3) М.о. суммы СВ равно сумме ожиданий СВ.

Д-во: Пусть х_i = y + z; M(y+z) =

5) М.о. отклонения СВ от М.о. равно нулю.

Д-во: M(x-M(x)) = M(x) – M(M(x)) = M(x) – M(x) = 0.

Дисперсия – рассеяние СВ вокруг М.о.. D(x) = M(x-M(x))²

Т. Дисперсия равна разности между М.о. квадрата СВ х и квадратом его М.о..

D(x) = M(x²) – [M(x)]²

Д-во: D(x) = M(x-M(x))² = M(x² – 2xM(x) + [M(x)]²) = M(x²) – 2M(x)*M(x) + [M(x)]² = M(x²) – [M(x)]²;

Св-ва:

1) Дисперсия постоянной величины равна нулю.

Д-во: D = M(C – M(C)) = M(C) – M(C) = 0;

2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат.

Д-во: D(x) = M(Cx – M(Cx))² = C²M(x-M(x))² = C²D(x).

3) Дисперсия суммы двух независимых СВ = сумме дисперсий этих величин.

Д-во: D(x+y) = M(x+y)² – [M(x+y)]² = M(x² + 2xy + y²) – [M(x)+M(y)]² = … =M(x²) – [M(x)]² + M(y²) – [M(y)]² = D(x) + D(y).

4) Дисперсия суммы постоянной и случайной величины равна дисперсии СВ.

D(x+C) = D(x) + D(C) = D(x).

5) Дисперсия разности СВ равна сумме дисперсий СВ:

D(x-y) =D(x)+D((-1)*y) = D(x)+(-1)²*D(y) = D(x) + D(y).

6) D(xy) = M(x²)M(y²) – [M(x)]²[M(y)]².

Средн. Квадратичн. Отклон-м СВ х наз. Квадр. Корень из ее дисперсии

Медианой непрерывной СВ x называется такое значение х_p, что P(X<x_p) = P(X>x_p) = ½. Это точка, для кот. Одинаково вероятно окажется ли СВ х больше х_p или меньше х_p.

Начальным моментом порядка k СВ х называет М.о. величины х в степени k:

Центральным моментом порядка k СВ х называется М.о. величины (x-M(x))^k =

№34. Числовые характеристики системы непрерывных ДСВ

Математическое ожидание – совокупность 2-х м.о MX и MY, определяемых равенствами:

, (здесь f(x,y) – плотность распределения системы). М.о – определяет среднее значение СВ.

Дисперсией системы СВ (X,Y) наз совокупность двух дисперсий DX и DY, определяемых равенствами:

,

Дисперсия характеризует рассеяние случайной точки (X,Y) в направлении осей O_x и O_y вокруг точки (m_x,m_y) на плоскости O_xy – центра рассеяния.

Математические ожидания MX и MY являются частными случаями начального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, , .

Дисперсии DX и DY являются частными случаями центрального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством , .

Корреляционным моментом двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

№35. Числовые характеристики системы дискретных ДСВ

Математическое ожидание – совокупность 2-х м.о MX и MY, определяемых равенствами:

, (здесь p_ij =P{X=x_i,Y=y_j})

М.о – определяет среднее значение СВ.

Дисперсией системы СВ (X,Y) наз совокупность двух дисперсий DX и DY, определяемых равенствами:

,

Дисперсия характеризует рассеяние случайной точки (X,Y) в направлении осей O_x и O_y вокруг точки (m_x,m_y) на плоскости O_xy – центра рассеяния.

Математические ожидания MX и MY являются частными случаями начального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, , .

Дисперсии DX и DY являются частными случаями центрального момента , порядка k+s системы (X,Y), определяемого равенством

, .

Корреляционным моментом двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

№36. Корреляционным моментом (или ковариацией ) двух СВ X и Y наз мат.ожид произведения отклоненинй этих СВ от их мат.ожид и обознач-ся через K_xy

если (X,Y) – дискретная ДСВ, то

если (X,Y) – непрерывная ДСВ, то

или