Формулы Френе. Натуральные уравнения кривой.

С пространственной кривой связано множество геометрических объектов, изучение которых представляет большой интерес. Исследование этих объектов чрезвычайно облегчается, если отнести их к системе координат, которую мы назовем натуральной: в ней за координатные оси принимаются ребра трехгранника Френе. Но тогда недостаточно знать, как меняются координаты изучаемого объекта; необходимо еще учесть, что меняется система координат, то есть ее основные орты . В эти исследования входят производные данных векторов. Поэтому важно знать выражения производных от векторов , через сами эти вектора. Такие формулы были получены французским математиком Френе (позднее независимо другим французским математиком Серре). Они получили название формул Френе или Серре – Френе.

Теорема. Пусть – регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая, – натуральный параметр, , , – векторы основного триэдра, и – кривизна и кручение кривой .

Тогда справедливы соотношения

.