Теорема доказана. Теперь нетрудно получить формулу для вычисления кривизны кривой в случае ее параметрического задания уравнениями

Теперь нетрудно получить формулу для вычисления кривизны кривой в случае ее параметрического задания уравнениями

.

Имеем

.

Если кривая плоская и расположена в плоскости XOY ,

.

Если плоская кривая задана уравнением ,

.

Замечание. Кривизна кривой по определению неотрицательна. Однако для плоских кривых во многих случаях целесообразно кривизне приписывать знак, считая ее в одних случаях положительной, в других – отрицательной. При этом пользуются следующим соображением. Касательный вектор кривой при движении вдоль кривой в направлении возрастания поворачивается. В зависимости от направления вращения кривизну считают положительной (вращение по часовой стрелке) или отрицательной (вращение против часовой стрелки).

Пусть кривая задана уравнением . Рассмотрим в каждой точке этой кривой, где , вектор .

Этот единичный вектор лежит в соприкасающейся плоскости кривой и ортогонален направляющему вектору касательной . Следовательно, – единичный направляющий вектор главной нормали кривой.

В заключение дадим геометрическую интерпретацию кривизны. А именно, найдём все кривые, имеющие в каждой точке кривизну, равную нулю. Имеем

.

Отсюда и, следовательно, , где и – постоянные векторы.

Таким образом, кривая, имеющая всюду кривизну равную нулю, является либо прямой, либо открытым отрезком прямой. Верно также обратное.

Установим выражение кривизны плоской кривой через производную угла между касательной и каким-либо фиксированным направлением в плоскости. Примем это направление за положительное направление оси OX. Пусть задана естественная параметризация кривой

.

Вектор является единичным касательным вектором . Следовательно, .

Найдем производные:

.

Используя формулу для нахождения кривизны плоской кривой, получим

,

то есть или .